pokaż ze
\(\displaystyle{ \left( 4\arctan^{2}\frac{1}{3}+\arctan^{2}\frac{1}{7}+\frac{\pi^{2}}{16} \right) ^{2}=2 \left( 16\arctan^{4}\frac{1}{3}+\arctan^{4}\frac{1}{7}+\frac{\pi^{4}}{256} \right)}\)
równość z arcusami
-
rochaj
- Użytkownik
- Posty: 411
- Rejestracja: 3 lip 2012, o 23:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: komp
- Podziękował: 128 razy
- Pomógł: 2 razy
równość z arcusami
Ostatnio zmieniony 4 lis 2012, o 18:12 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skaluj nawiasy.
Powód: Skaluj nawiasy.
-
timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
równość z arcusami
rozważmy w kartezjańskim układzie współrzędnych punkty \(\displaystyle{ O=(0,0), A=(15,-5), B=(21,7), C=(20,10)}\)
nietrudno zorientować się, że \(\displaystyle{ \angle BOC = \arctan \frac 17, \angle AOB = 2 \arctan \frac 13, \angle AOC = \frac \pi 4}\)
zatem \(\displaystyle{ 2\arctan \frac{1}{3}+\arctan \frac{1}{7} - \frac{\pi}{4} = 0}\) i korzystając z tożsamości \(\displaystyle{ \left(x^2+y^2+z^2\right)^2 - 2\left(x^4+y^4+z^4\right) = (x+y+z)(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)}\) dostajemy to co chcemy
nietrudno zorientować się, że \(\displaystyle{ \angle BOC = \arctan \frac 17, \angle AOB = 2 \arctan \frac 13, \angle AOC = \frac \pi 4}\)
zatem \(\displaystyle{ 2\arctan \frac{1}{3}+\arctan \frac{1}{7} - \frac{\pi}{4} = 0}\) i korzystając z tożsamości \(\displaystyle{ \left(x^2+y^2+z^2\right)^2 - 2\left(x^4+y^4+z^4\right) = (x+y+z)(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)}\) dostajemy to co chcemy