jakie 'x' spełniają nierówności

[Ser Cubus]

hej, można prosić o jakieś wskazówki ^^?

1.107 e)
\(\displaystyle{ \left( \frac{4}{9}\right) ^{2\sin^2x}+\left( \frac{2}{3}\right) ^{4cos^2x} = \frac{26}{27} \\
\left( \frac{2}{3}\right) ^{4\sin^2x}+\left( \frac{2}{3}\right) ^{4cos^2x} = \frac{26}{27}}\)

co dalej?

g)
\(\displaystyle{ \sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(-x)} \sin\pi x=0}\)
dziedzina wyszła mi:\(\displaystyle{ \left( - \infty , -1\right\langle}\) czy dobrze?
Przykład przepisany z książki i nie wiem czy chodzi o \(\displaystyle{ \sin\left( \pi x\right)}\) czy \(\displaystyle{ \sin\pi \cdot x}\) wydaje mi się, że chodzi o pierwszą opcję

[Mistrz]

Drogi Serze
e) Można pomnożyć stronami przez \(\displaystyle{ \left( \frac{2}{3} \right)^{4\cos^2 x}}\) a następnie oznaczyć tę liczbę przez \(\displaystyle{ t}\) i rozwiązać równanie kwadratowe, które się pojawi (będzie \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = \frac{22}{27}}\) o ile się nie mylę).
g) Tak, \(\displaystyle{ x \le -1}\), czyli \(\displaystyle{ x \in (-\infty; -1 \rangle}\).
Tak, \(\displaystyle{ \sin \pi x = \sin(\pi x)}\).

[Ser Cubus]

co do drugiego przykładu, wyszło mi, że \(\displaystyle{ x = -1}\) lub \(\displaystyle{ x=0 +k\pi}\), w odpowiedziach jest tylko \(\displaystyle{ x=1}\), dlaczego wykluczamy drugą możliwość?

[777Lolek]

\(\displaystyle{ \sin \pi x = 0 \Rightarrow \pi x = k\pi \Leftrightarrow x = k \hbox{ dla } k\in \ZZ}\)

tak więc \(\displaystyle{ x\in \ZZ \wedge x \le 0}\)

[Ser Cubus]

\(\displaystyle{ \sin\pi x = 0 \\
\pi x = 2k\pi\\
x = 2k\\
k \in \ZZ\\}\)

a z logarytmu
\(\displaystyle{ x=-1}\)

[777Lolek]

nie no, sinus jest równy \(\displaystyle{ 0}\) w każdej wielokrotności \(\displaystyle{ \pi}\) spójrz na wykres. \(\displaystyle{ x}\) w Twoim równaniu wyszedł że ma być parzysty. A nie musi być.
rozwiązanie jest takie jak napisałem (tylko przez pomyłkę dałem zły znak) : \(\displaystyle{ x\in \ZZ \wedge x < 0}\) czyli \(\displaystyle{ x}\) moze byc kazdą ujemną liczbą całkowitą.

[Ser Cubus]

ok, rozumiem, mój błąd ^ ^ czyli w książce jest błąd

[777Lolek]

Ale aale...
Coś mi tu nie pasowało, no i tak. Dziedzina jest źle wyznaczona

\(\displaystyle{ \sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(-x)} \sin\pi x=0}\)

zatem \(\displaystyle{ -x > 0 {\red \wedge \log_{\frac{1}{2}}(-x) \ge 0}}\)

więc \(\displaystyle{ x < 0 \wedge x\in \left\langle -1, 0\right) \Rightarrow x\in \left\langle -1, 0\right)}\)

[Ser Cubus]

\(\displaystyle{ \log_\frac{1}{2}\left( -x\right) \ge 0\\
-\log_2 \left( -x \right) \ge 0\\
\log_2 \left( -x\right) \le 0\\
1 \le -x\\
x \le -1}\)

??

[777Lolek]

\(\displaystyle{ \log_2 (-x) \le 0 \Rightarrow -x\le 1}\)

[Ser Cubus]

zgadza się, więc dlaczego Twój przedział w poprzednim poście obejmuje 0?

[777Lolek]

pytasz o to: \(\displaystyle{ x < 0 \wedge x\in \left\langle -1, 0\right)}\) ?


\(\displaystyle{ \log_2 (-x) \le 0 \Rightarrow -x\le 1 \wedge -x > 0}\)
I tak też powinno być w moim poście z 4 lis 2012, o 14:38.


Stąd \(\displaystyle{ x\in \left\langle -1, 0\right)}\) .

[Ser Cubus]

\(\displaystyle{ \log_ab = x\\
a \neq 1 \\
a > 0\\
\\
b \ge 0}\)

dla 'naszego' b:
\(\displaystyle{ x<0}\) tutaj się zgadzamy

a czy możesz wskazać mi błąd w tych obliczeniach?
\(\displaystyle{ \log_\frac{1}{2}\left( -x\right) \ge 0\\
-\log_2 \left( -x \right) \ge 0\\
\log_2 \left( -x\right) \le 0\\
1 \le -x\\
x \le -1}\)

[777Lolek]

Wskazałem tutaj:

\(\displaystyle{ \log_2 (-x) \le 0 \Rightarrow -x\le 1}\)

[Ser Cubus]

znalazłem już sam, przy moim sposobie ten minus przed logarytmem trzeba było wrzucić jako wykładnik x