Obliczyć wartość wyrażeń:
a) \(\displaystyle{ \ctg \left(\arcsin \frac{1}{3}\right)}\)
b)\(\displaystyle{ \sin\left(\arcsin \frac{3}{5}+\arcsin \frac{8}{17}\right)}\)
c)\(\displaystyle{ \sin\left(\arctg1+\arctg2\right)}\)
Nie wiem, jak się zabrać za te przykłady.
Obliczenie wartości wyrażeń
-
Adifek
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
Obliczenie wartości wyrażeń
\(\displaystyle{ \ctg \left(\arcsin \frac{1}{3}\right)= \frac{\cos \left(\arcsin \frac{1}{3}\right)}{\sin \left(\arcsin \frac{1}{3}\right)} = \frac{\cos \left(\arcsin \frac{1}{3}\right)}{ \frac{1}{3} }= \frac{ \sqrt{1- \sin^{2}\left(\arcsin \frac{1}{3}\right)} }{\frac{1}{3}} =3 \sqrt{1- \sin^{2}\left(\arcsin \frac{1}{3}\right)}=3 \sqrt{1- \left(\frac{1}{3}\right)^{2}}=...}\)
No dalej, to jedynie pozostaje uprościć
W kolejnych przykładach może przydać się tożsamość:
\(\displaystyle{ \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}}\)
No dalej, to jedynie pozostaje uprościć
W kolejnych przykładach może przydać się tożsamość:
\(\displaystyle{ \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}}\)
-
pawellogrd
- Użytkownik
- Posty: 844
- Rejestracja: 19 lis 2009, o 15:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 121 razy
- Pomógł: 156 razy
Obliczenie wartości wyrażeń
\(\displaystyle{ \ctg \left(\arcsin \frac{1}{3}\right) = \frac{\cos \left(\arcsin \frac{1}{3}\right)}{\sin \left(\arcsin \frac{1}{3}\right)}}\)
Tutaj warto wykorzystać fakt, że \(\displaystyle{ \cos\left( \arcsin x \right) = \sqrt{1-x^2}}\) oraz \(\displaystyle{ \sin\left( \arcsin x \right) = x}\)
Zatem \(\displaystyle{ \frac{\cos \left(\arcsin \frac{1}{3}\right)}{\sin \left(\arcsin \frac{1}{3}\right)} = \frac{\sqrt{\frac{8}{9}}}{\frac{1}{3}} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}}\)
W b) skorzystaj z powższych dwóch tożsamości, które napisałem oraz tej: \(\displaystyle{ \sin(x+y)=\sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y)}\)
W c) oprócz powyższej tożsamości na sumę kątów sinusa mogą się przydac: \(\displaystyle{ \sin\left( \arctg x \right) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}\) oraz \(\displaystyle{ \cos\left( \arctg x \right) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}\)
Tutaj warto wykorzystać fakt, że \(\displaystyle{ \cos\left( \arcsin x \right) = \sqrt{1-x^2}}\) oraz \(\displaystyle{ \sin\left( \arcsin x \right) = x}\)
Zatem \(\displaystyle{ \frac{\cos \left(\arcsin \frac{1}{3}\right)}{\sin \left(\arcsin \frac{1}{3}\right)} = \frac{\sqrt{\frac{8}{9}}}{\frac{1}{3}} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}}\)
W b) skorzystaj z powższych dwóch tożsamości, które napisałem oraz tej: \(\displaystyle{ \sin(x+y)=\sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y)}\)
W c) oprócz powyższej tożsamości na sumę kątów sinusa mogą się przydac: \(\displaystyle{ \sin\left( \arctg x \right) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}\) oraz \(\displaystyle{ \cos\left( \arctg x \right) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}\)