narysować wykres i podać dziedzinę

[krzysztofkolumb]

Podaj dziedzinę i narysuj wykres funkcji: \(\displaystyle{ f(x)=arctg(tgx)}\)-- 30 paź 2012, o 19:31 --Narysowałam funkcję tg i odbiłam i nie wiem jak to dalej rozwiązywać

[kropka+]

Dziedzina tej funkcji jest taka jak dziedzina tangensa, czyli \(\displaystyle{ x \neq \frac{ \pi }{2}+k \pi}\)
Wykres zaczęłaś źle. Zauważ, że

\(\displaystyle{ x \in \left( - \frac{ \pi }{2}, \frac{ \pi }{2} \right) \Rightarrow \arctan \tan(x)=x}\)

Rysujesz więc wykres \(\displaystyle{ y=x}\) w przedziale \(\displaystyle{ \left( - \frac{ \pi }{2}, \frac{ \pi }{2} \right)}\) a potem powielasz go w prawo i w lewo nieskończenie wiele razy.

[bb314]

\(\displaystyle{ f(x)=arctg(tgx)}\)

dziedziną funkcji \(\displaystyle{ \tg x}\) jest cały zbiór \(\displaystyle{ \RR \setminus \{\frac{\pi}{2}+k\pi\}}\) i przyjmuje ona wszystkie wartości \(\displaystyle{ \in\RR}\)

dziedziną funkcji \(\displaystyle{ arctg x}\) jest cały zbiór \(\displaystyle{ \RR}\), czyli wszystkie wartości jakie może przyjmować jej argument - funkcja \(\displaystyle{ \tg x}\)

ale funkcja \(\displaystyle{ arctg x}\) przyjmuje wartości tylko ze zbioru \(\displaystyle{ \left( -\frac12\pi,\ \frac12\pi\right)}\)

więc dziedziną funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) jest zbiór \(\displaystyle{ \RR \setminus \{\frac{\pi}{2}+k\pi\}}\)
przeciwdziedziną jest zbiór \(\displaystyle{ \left( -\frac12\pi,\ \frac12\pi\right)}\)

dla \(\displaystyle{ x\in\left( -\frac12\pi,\ \frac12\pi\right)\ \ \ \ f(x)=arctg(tgx)=x}\)

więc wykresem będzie powtarzający się fragment prostej \(\displaystyle{ y=x}\) przesunięty co okres funkcji \(\displaystyle{ \tg x}\) czyli o \(\displaystyle{ \pi}\) w obu kierunkach osi 0X (powstanie taka piła)