Funkcje cyklonometryczne

[edith1423]

Funkcję odwrotną do podanej zapisać przy pomocy funkcji cyklonometrycznej
\(\displaystyle{ f\left(x\right)= \sin x, \ x \in \left\langle \frac{\pi}{2}, \frac{3 }{2}\pi \right\rangle}\)
Robię to zadanie ,,do przodu", więc proszę o dokladne rozpisanie krok po kroku jak zrobić to zadanie.

[miodzio1988]

I problem pojawia się gdzie? funkcje cyklometryczne sobie odszukaj w google i zobaczysz jak ta funkcja odwrotna może wyglądać

[loitzl9006]

Arcus sinus (znany jako \(\displaystyle{ \arcsin x}\) ) jest funkcją odwrotną do funkcji sinus obciętej do przedziału \(\displaystyle{ \left\langle - \frac{ \pi }{2};\frac{ \pi }{2} \right\rangle}\). To jest fakt - trzeba zapamiętać.

Trzeba przesunąć wykres \(\displaystyle{ \arcsin x}\) o pewien wektor (tak jak się przesuwało o wektor np. żeby z \(\displaystyle{ x^2}\) otrzymać \(\displaystyle{ (x-1)^2+4}\)). O jaki wektor?

I jeszcze jedno: jeżeli \(\displaystyle{ f(x)}\) to jakaś funkcja, a \(\displaystyle{ f^{-1}(x)}\) to funkcja do niej odwrotna, to dziedzina funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) jest zbiorem wartości \(\displaystyle{ f^{-1}(x)}\), a zbiór wartości \(\displaystyle{ f(x)}\) jest dziedziną \(\displaystyle{ f^{-1}(x)}\). Poza tym wykresy \(\displaystyle{ f(x)}\) i \(\displaystyle{ f^{-1}(x)}\) są symetryczne względem prostej \(\displaystyle{ y=x}\).
Dziedzinę sinusa masz podaną, pomyśl jaki będzie jego zbiór wartości dla podanej dziedziny, i wykorzystaj to co napisałem powyżej. Warto zrobić rysunek całej sytuacji.
Jak to wszystko odgadniesz, to praktycznie masz ten wzór.

[edith1423]

Ma być \(\displaystyle{ \arcsin x+\pi}\)?
Dlla \(\displaystyle{ f\left(x\right)= \cos x, x \in \left<\pi, 2\pi \right)}\) będzie \(\displaystyle{ \arccos x+\pi}\)? ( przy takim samym poleceniu)

[loitzl9006]

Ma być \(\displaystyle{ \arcsin x+\pi}\) ?

Nie, ale blisko. Będzie \(\displaystyle{ -\arcsin(x)+\pi}\). Dlaczego tak? Bo jak masz wykres \(\displaystyle{ \arcsin(x)+\pi}\) to nie będzie on symetryczny do wykresu funkcji sinus w zadanym przedziale.

W tym drugim zadaniu z cosinusem też dobrze jest wykonać rysunek. Widać, że funkcja \(\displaystyle{ \arccos x}\) nie będzie odwrotna do cosinusa z zadanego przedziału, bo obie nie będą symetryczne względem prostej \(\displaystyle{ y=x}\).

Wolfram trochę pomaga przy tym (możesz weryfikować swoje pomysły):
... 8x%29%2Bpi

[edith1423]

To w takim razie w następnym zadaniu musi być analogicznie? Tzn. \(\displaystyle{ -\arccos x+ \pi}\)?

[loitzl9006]

\(\displaystyle{ -\arccos x}\) to jest ok.
ale nie \(\displaystyle{ + \pi}\).

Spójrz na wykres \(\displaystyle{ \arccos x}\) (zakładam że cosinusa masz narysowanego). Wykres \(\displaystyle{ -\arccos x}\) powstaje poprzez odbicie lustrzane wykresu \(\displaystyle{ \arccos x}\) względem osi iksów. Także cały wykres \(\displaystyle{ -\arccos x}\) będzie pod osią iksów. Zatem o jaki wektor trzeba przesunąć go aby był symetryczny do cosinusa?

[edith1423]

W takim razie \(\displaystyle{ \arccos x + 2\pi}\).
Koniecznie muszę przekształcać symetrycznie względem osi OX? Nie mogłabym przekształcić względem osi OY i mieć dla pierwszego zadania ( bo chyba efekt będzie ten sam?) \(\displaystyle{ \arcsin\left(-x\right)+\pi}\), a w drugim \(\displaystyle{ \arccos\left(-x\right)+\pi}\)?

[loitzl9006]

Zgadza się.
W sumie tak, można przekształcić względem \(\displaystyle{ OY}\) i przesunąć o \(\displaystyle{ \pi}\) w górę - też jest ok.

[edith1423]

Ok, jeszcze teraz tak patrzę i mam \(\displaystyle{ f\left(x\right)=\tg x, x \in \left( - \frac{3}{2}\pi, - \frac{\pi}{2}\right)}\). Tutaj chyba nie muszę przekształcać symetrycznie? Wystarczy samo \(\displaystyle{ \arctg x-\pi}\)?
Tak samo dla \(\displaystyle{ f\left(x\right)=\ctg x, x \in \left(\pi, 2\pi \right)}\). Tutaj \(\displaystyle{ \arcctg x +\pi}\).
Dobrze to rozumiem?

[loitzl9006]

Dobrze rozumiesz.

Dobra metoda na znajdywanie funkcji odwrotnych (ale wyraźny rysunek i przeświecająca kartka (nie karton) są potrzebne):

Rysujesz układ współrzędnych \(\displaystyle{ x}\) , \(\displaystyle{ y}\), w nim wykres podanej funkcji (tylko bardzo grubą i wyraźną linią) a potem odwracasz kartkę i patrzysz na wykres. To co widzisz (najlepiej widać pod światło) to wykres funkcji odwrotnej, z tym że oś \(\displaystyle{ x}\) po odwrocie kartki staje się osią \(\displaystyle{ y}\), i tak samo z osią \(\displaystyle{ y}\) - staje się ona osią iksów.

[edith1423]

Ok, dzięki za pomoc w zadaniu. Dobrze, że wspomniałeś o tej metodzie, przyda się.