funkcja trygonometryczna - twierdzenia

[asiulka17a]

1. Dane są dwa trójkąty: ABC oraz A`B`C` takie, że α=α` oraz β+β`=180°. Wykaż, że \(\displaystyle{ \frac{|AC|}{|BC|}}\) = \(\displaystyle{ \frac{|A`C`|}{|B`C`|}}\).
2.Wykaż że jeżeli w trójkącie \(\displaystyle{ \frac{a}{b}=\sqrt{2}}\), to cos�α=2cos�β-1.
3.W trójkącie ABC, w którym |kąt CAB|=α, poprowadzono dwusieczną CD kąta wewnętrznego ACB, przy czym |kąt CDA|=β. Oblicz \(\displaystyle{ \frac{|AD|}{|DB|}}\).
4.W trójkącie ABC dane są |BC|=4, |AC|=2, |kąt ACB|=120°. Wyznacz długość odcinka dwusiecznej kąta ACB, zawartego w tym trójkącie.
5.Suma długości dwu boków trójkąta wynosi 4, a miara kąta pomiędzy tymi bokami 60°.Jaką najmniejszą wartość ma obwód tego trójkąta.
6.Niech ABC będzie dowolnym trójkątem. Oblicz stosunek \(\displaystyle{ \frac{s_{1}^2+s_{2}^2+s_{3}^2}{a^2+b^2+c^2}}\), gdzie a,b,c są długościami boków, s_{1},s_{2},s_{3} zaś długościami środkowych tego trójkąta.
7.Wykaż, że jeżeli kąty wewnętrzne trójkąta spełniają warunek sinα=2cosχ*sinβ, to trójkąt ten jest równoramienny.
8.Wykaż, że jeżeli kąty wewnętrzne trójkąta spełniają warunek \(\displaystyle{ sin\alpha=\frac{sin\beta+sin\gamma}{cos\beta+cos\gamma}}\) to ten trójkąt jest prostokątny.
9. Na boku BC trójkąta równobocznego ABC obrano punkt D tak, że |CD|:|DB|=2:1. Oblicz sinusy kątów CAD i DAB oraz stosunek długości promieni okręgów opisanych na trójkątach ACD i ABD.
10. Długości boków trójkąta, ktorego jeden z kątów ma miarę 120°, tworzą trzy kolejne wyrazy ciągu arytmeteycznego. W jakim stosunku pozostają długości boków tego trójkąta.


Znaków pod emotikonami do LaTeXa nie wstawiamy. Lorek

[Tristan]

Ad 2:
Skorzystamy tutaj z twierdzenia cosinusów, a dokładniej z dwóch równości:
\(\displaystyle{ a^2 = b^2 +c^2 -2bc \cos \\ b^2=a^2 +c^2 - 2ac \cos \beta}\)
Przekształćmy pierwszą z nich tak, by otrzymać \(\displaystyle{ \cos }\) i skorzystać z założenia, że \(\displaystyle{ a= \sqrt{2} b}\):
\(\displaystyle{ 2 bc \cos = b^2 +c^2 -a^2 \\ 2bc \cos = b^ +c^ -( \sqrt{2} b)^2= c^2 - b^2 \\ \cos =\frac{c^2 -b^2 }{ 2bc}}\)
W podobny sposób przekształcamy drugą z równości:
\(\displaystyle{ 2 ac \cos \beta= a^2 +c^2 -b^2 \\ 2 \sqrt{2} b c \cos \beta=( \sqrt{2b})^2 +c^2 -b^2=c^2 +b^2 \\ \cos \beta= \frac{c^2 +b^2}{2 \sqrt{2} bc }}\)
Przekształcając prawą stronę równania w tezie będziemy chcieli otrzymać tę lewą:
\(\displaystyle{ 2 \cos^2 \beta - 1= 2 ( \frac{c^2 +b^2}{2 \sqrt{2} bc } )^2 -1= 2 \frac{ c^4 +2c^2 b^2 +b^4 }{8 b^2 c^2 } - 1= \frac{ 2( c^4 +2 b^2 c^2 +b^4) - 8b^2c^2 }{8b^2 c^2 }= \frac{2(c^4 - 2b^2 c^2 +b^4 )}{8b^2c^2}= \frac{2(c^2 -b^2)^2}{8 b^2 c^2}= \frac{(c^2 -b^2)^2 }{4b^2c^2}= ( \frac{c^2 -b^2 }{ 2bc} )^2 = \cos^2 }\)
Pokazaliśmy więc prawdziwość tezy, co kończy dowód.

Ad 6:
Stosunek ten łatwo wyliczyć znając wzory na długości środkowych, które możesz zobaczyć tutaj.