Równanie z tangensem i arcusem tangensem

Szymon1993 · Post autor: **Szymon1993** » 23 paź 2012, o 20:10

Mam problem z rozwiązaniem następującego równania: \(\displaystyle{ \tan \left( \arc \tg \frac{1}{x} - \arc \tg \left( 1 - x \right) \right) - x = 0}\). Niestety do głowy nie przychodzi mi żaden pomysł jak je rozwiązać. Myślałem, że może spróbować wykorzystać jakieś tożsamości trygonometryczne ale nie wiem jakie i w jaki sposób je tutaj zastosować. Zna ktoś jakąś prostą metodę na to zadanie?

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 23 paź 2012, o 20:16

\(\displaystyle{ \tg \left( \arctan \alpha\right) = \alpha}\)
Wymnóż nawiasy.
Pozdrawiam!

Qń · Post autor: Qń » 23 paź 2012, o 20:17

Wskazówka: użyj wzoru na tangens różnicy, a potem skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ \tg x}\) i \(\displaystyle{ \arc\tg x}\) to funkcje odwrotne.

Q.

Szymon1993 · Post autor: **Szymon1993** » 23 paź 2012, o 20:28

Zrobiłem tak jak polecił wujomaro i wyszedł mi prawidłowy wynik. Dziękuję.

Qń · Post autor: Qń » 23 paź 2012, o 20:32

To bardzo ciekawe, bo jeśli dobrze domyślam się co proponował wujomaro, to jego propozycja jest błędna.

Przecież tutaj nie ma żadnych nawiasów, które można by wymnożyć.

Q.

Szymon1993 · Post autor: **Szymon1993** » 23 paź 2012, o 20:37

Zrobiłem tak:
\(\displaystyle{ \tan \arc \tan \frac{1}{x} - \tan \arc \tan (1 - x) - x = 0}\) a potem \(\displaystyle{ \frac{1}{x} - 1 + x - x = 0}\) i z tego wyszło, że \(\displaystyle{ x = 1}\) co jest zgodne z odpowiedzią. Jest w tym jakiś błąd?

Qń · Post autor: Qń » 23 paź 2012, o 20:41

Owszem, nie ma takiego wzoru:
\(\displaystyle{ \tg (a-b) = \tg a - \tg b}\)

Tangens w Twoim równaniu nie jest liczbą przez którą mnożymy nawias, tylko funkcją, której argumentem jest to co w nawiasie.

Proponuję więc, żebyś jednak skorzystał ze wzoru na tangens różnicy.

Q.

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 23 paź 2012, o 20:44

Qń pisze:Owszem, nie ma takiego wzoru: \(\displaystyle{ \tg(a-b)=\tg a - \tg b}\)

Fakt, mój błąd. Prawidłowy wzór na tangens różnicy to:
\(\displaystyle{ \tg \left( a-b\right) = \frac{\tg a - \tg b}{1+ \tg a \cdot \tg b}}\)
Pozdrawiam i jeszcze raz przepraszam!

Szymon1993 · Post autor: **Szymon1993** » 23 paź 2012, o 20:50

Faktycznie, jak obliczyłem ten przykład stosując ten wzór to wynik wyszedł taki sam. Dziękuję.-- 23 paź 2012, o 22:24 --Mam jeszcze problem z jednym przykładem z tego samego zadania. Myślę, że nie ma sensu zakładać nowego tematu więc napiszę tu. Przykład wygląda tak: \(\displaystyle{ \arc \tg x - \arc \tg (1 - x) = 2 \arc \tg \sqrt{x(1 - x)}}\). Zrobiłem coś takiego: \(\displaystyle{ \tg(\arc \tg x - \arc \tg (1 - x)) = \tg(2 \arc \tg \sqrt{x(1 - x)})}\) a później tak: \(\displaystyle{ \frac{\tg \arc \tg x - \tg \arc \tg (1 - x)}{1 + \tg \arc \tg x \cdot \tg \arc \tg (1 - x)} = \frac{2 \tg \arc \tg \sqrt{x(1 - x)} }{1 - (\tg \arc \tg \sqrt{x(1 - x)} ) ^{2} }}\). Liczyłem to dalej kilka razy i za każdym razem dochodziłem do równania wielomianowego wysokiego stopnia. Podstawiłem do tego równania, które otrzymałem odpowiedź do tego zadania czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) ale nie pasowało. Czy robię coś źle w tym przykładzie?