Wyznaczyc funkcję odwrotną (cykoletryczną)

[zielinciech]

Witam!
Proszę o pomoc w tym zadaniu i krótkie wyjaśnienie metody.
\(\displaystyle{ f(x)=3\sin2x}\)
\(\displaystyle{ dla x \in \left\langle \frac{- \pi }{4}, \frac{ \pi }{4} \right\rangle}\)

[Vardamir]

A gdzie jest kłopot?

\(\displaystyle{ x=3\sin 2y \\
\frac{x}{3}=\sin 2y}\)

I dajesz dalej.

[zielinciech]

czy nie trzeba sprawdzac/określac dziedziny?
na zajęciach rozwiązania podobnych przykładów były
dośc długie, zawiłe i ciężkie do zrozumienia ;/

[Vardamir]

Oczywiście, że trzeba. Ja podałem Ci podpowiedz jak zacząć zadanie. Musisz poczynić jeszcze założenia. Szczególnie zastanowić się czy można wyznaczyć funkcję odwrotną.

Ewentualnie na początku przekształcić \(\displaystyle{ \sin 2x}\) razem z zakresem \(\displaystyle{ x}\).

[pawellogrd]

Niech \(\displaystyle{ t=2x}\), wtedy: \(\displaystyle{ f(t)=3 \sin(t) \Rightarrow \sin(t)=\frac{f(t)}{3}}\)

Funkcją odwrotną dla \(\displaystyle{ \sin(t)}\) jest \(\displaystyle{ \arcsin(t)}\) zatem:

\(\displaystyle{ \arcsin(\sin(t)) = \arcsin\left( \frac{f(t)}{3} \right)}\)

W zadanym przedziale, tj. dla \(\displaystyle{ x \in \left\langle \frac{- \pi }{4}, \frac{ \pi }{4} \right\rangle \Rightarrow t=2x \in \left\langle \frac{- \pi }{2}, \frac{ \pi }{2} \right\rangle}\) zachodzi: \(\displaystyle{ \arcsin(\sin(t))=t}\), zatem powyższe równanie można przekształcić do postaci:

\(\displaystyle{ t = \arcsin\left( \frac{f(t)}{3} \right)}\) , a stąd wracając do zmiennej x:

\(\displaystyle{ 2x = \arcsin\left( \frac{f(2x)}{3} \right)}\) czyli \(\displaystyle{ x = \frac{\arcsin\left( \frac{f(2x)}{3} \right)}{2}}\)

Więc funkcją odwrotną będzie \(\displaystyle{ f^{-1} (x)=\frac{\arcsin\left( \frac{f(2x)}{3} \right)}{2}}\)