przekształcenie-połówka kąta

[matej1410]

jak z tego:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2 \pi } \sqrt{1+cos(t)} dt}\)

ktoś zrobił to:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2 \pi } \sqrt{sin ^{2} ( \frac{t}{2} )+cos ^{2} ( \frac{t}{2} )+cos ^{2} ( \frac{t}{2} )-sin ^{2} ( \frac{t}{2} )} dt}\)

[Vardamir]

Jedynka trygonometryczna i wzór na \(\displaystyle{ \cos (2\alpha)}\).

[Glo]

\(\displaystyle{ \cos t = \cos ^2\frac{1}{2}t- \sin ^2 \frac{1}{2}t}\)

A to drugie to jedynka trygonometryczna.

[matej1410]

czyli, że z tego:

\(\displaystyle{ cos(2t)=cos^2(t)-sin^2(t)}\)

możemy zrobić tak, że wszystkie kąty obustronnie mamy prawo podzielić na pół albo na dowolną liczbę byle zrobić to po obydwu stronach równania?

\(\displaystyle{ cos(t)=cos^2( \frac{t}{2} )-sin^2( \frac{t}{2} )}\)

[Glo]

Przekombinowałeś. Wzór mówi, że cosinus kąta jest równy różnicy kwadratu cosinusa połowy kąta i kwadratu sinusa połowy kąta. Gdyby to tyczyło się dowolnego podziału kąta to wzór wyglądałby:

\(\displaystyle{ \cos (nt)=\cos ^2 \frac{t}{n}-\sin ^2 \frac{t}{n}}\)

, jeżeli dobrze zrozumiałem o co Ci chodzi. W ogólności możesz stosować wzór:

\(\displaystyle{ \cos (\alpha + \beta)=cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}\)

W szczególności, gdy \(\displaystyle{ \alpha = \beta}\) to da nam to wzór na cosinus podwojonego kąta.