Obliczyć równania z arcusem

[canneu]

Witam serdecznie, zgłaszam się z prośbą o przedstawienie rozwiązania tych oto przykładów:

a) \(\displaystyle{ \sin (2 \arccos \frac{3}{5} )=?}\)

b) \(\displaystyle{ \arctan x ^{3} = \frac{\pi}{4}}\)

oraz jedno, w którym po podstawieniu za \(\displaystyle{ \cos x = t}\) wyszło mi \(\displaystyle{ t _{1}=-1}\) oraz \(\displaystyle{ t _{2}=9/10}\) i nie mam pojęcia co dalej z tym zrobić.. a no i za pierwszego sinusa podstawiłam \(\displaystyle{ 1-\cos ^{2} x}\)
oto on:
c) \(\displaystyle{ 5\sin ^{2}x - \cos x = \frac{1}{2}}\)

Jeśli ktoś byłby skłonny rozjaśnić mi trochę to byłabym wdzięczna

[Adifek]

\(\displaystyle{ \sin (2 \arccos \frac{3}{5} )=2\sin (\arccos \frac{3}{5}) \cos (\arccos \frac{3}{5})= \frac{3}{5} \cdot 2\sin (\arccos \frac{3}{5}) = \frac{6}{5} \sqrt{1-\cos ^{2} (\arccos \frac{3}{5})} = \frac{6}{5} \sqrt{1- \left( \frac{3}{5}\right)^{2} }= \frac{6}{5} \sqrt{\frac{16}{25} } =\frac{6}{5} \cdot \frac{4}{5}}\)

\(\displaystyle{ \arctan x ^{3} = \frac{\pi}{4} \\
x^{3}=1 \\
x=1}\)

[canneu]

\(\displaystyle{ \sin (2 \arccos \frac{3}{5} )=2\sin (\arccos \frac{3}{5}) \cos (\arccos \frac{3}{5})= \frac{3}{5} \cdot 2\sin (\arccos \frac{3}{5}) = \frac{6}{5} \sqrt{1-\cos ^{2} (\arccos \frac{3}{5})} = \frac{6}{5} \sqrt{1- \left( \frac{3}{5}\right)^{2} }= \frac{6}{5} \sqrt{\frac{16}{25} } =\frac{6}{5} \cdot \frac{4}{5}}\)

\(\displaystyle{ \arctan x ^{3} = \frac{\pi}{4} \\
x^{3}=1 \\
x=1}\)

skąd wyszło w drugim przykładzie \(\displaystyle{ x ^{3}=1}\) ?


A NIE, DOBRA JUŻ WIEM

a jak to będzie z trzecim przykładem?

[Adifek]

\(\displaystyle{ 5\sin ^{2}x - \cos x = \frac{1}{2} \\
5-5 \cos^{2}x - \cos \x =0.5 \\
10 \cos^{2}x + \cos x -9 =0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=1+360=361=19^{2}}\)

\(\displaystyle{ \cos x = \frac{-1+19}{20} = \frac{9}{10}}\) lub \(\displaystyle{ \cos x = \frac{-1-19}{20}=-1}\)

stąd \(\displaystyle{ x=\pm \arccos \frac{9}{10} +2k \pi \ \vee \ x=\pi + 2k \pi \quad k \in \mathbb{Z}}\)

[canneu]

\(\displaystyle{ 5\sin ^{2}x - \cos x = \frac{1}{2} \\
5-5 \cos^{2}x - \cos \x =0.5 \\
10 \cos^{2}x + \cos x -9 =0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=1+360=361=19^{2}}\)

\(\displaystyle{ \cos x = \frac{-1+19}{20} = \frac{9}{10}}\) lub \(\displaystyle{ \cos x = \frac{-1-19}{20}=-1}\)

stąd \(\displaystyle{ x=\pm \arccos \frac{9}{10} +2k \pi \ \vee \ x=\pi + 2k \pi \quad k \in \mathbb{Z}}\)

Wszystko fajnie, ale czemu cosx nie mnozylismy *2? Tylko kwadrat i wyraz wolny

[Adifek]

Bo się pomyliłem

\(\displaystyle{ 5\sin ^{2}x - \cos x = \frac{1}{2} \\ 5-5 \cos^{2}x - \cos \x =0.5 \\ 10 \cos^{2}x + 2\cos x -9 =0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=4+360=364}\)

W takim razie to drugie rozwiązanie będzie sprzeczne i zostanie tylko:

\(\displaystyle{ \cos x = \frac{-2+ \sqrt{364} }{20}\\
x= \pm \arccos \left(\frac{-2+ \sqrt{364} }{20} \right) +2k\pi}\)

[canneu]

Dodatni czy ujemny wynik bedzie sprzeczny? I dlaczego bedzie sprzeczny?

[Adifek]

Sprzeczne będzie:

\(\displaystyle{ \cos x = \frac{-2-\sqrt{364}}{20}}\) (więc już tego nie pisałem)

Bo to jest mniejsze niż -1, a cosinus nie może osiągać takich wartości w liczbach rzeczywistych.

[canneu]

Dobra, dzięki!


Mam jeszcze jedno pytanko, co się dzieje gdy przyrównuję \(\displaystyle{ sin ^{2}x}\) do \(\displaystyle{ 0}\) ?

[Adifek]

Jeśli dobrze Cię zrozumiałem:

\(\displaystyle{ \sin^{2}x=0 \\ \sin x=0 \\ x=k\pi}\)