Udowodnij tożsamość:
\(\displaystyle{ arc sin x = arc tg \frac{x}{ \sqrt{1 -x ^{2} } }}\)
Są jakieś własność/tożsamości które mogłyby być pomocne?
tożsamość cyklometryczna
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
tożsamość cyklometryczna
Rozważ funkcję
\(\displaystyle{ f(x)={\rm arcsin}\, x - {\rm arctg} \frac{x}{ \sqrt{1 -x ^{2} } }}\).
Chcesz pokazać, że jest ona równa stale 0.
Sprawdź, że
\(\displaystyle{ \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}f(x)=0}\),
skąd wynika, że \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją stałą. Ale \(\displaystyle{ f(0)=0}\), więc \(\displaystyle{ f(x)=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x\in [-1,1]}\).
\(\displaystyle{ f(x)={\rm arcsin}\, x - {\rm arctg} \frac{x}{ \sqrt{1 -x ^{2} } }}\).
Chcesz pokazać, że jest ona równa stale 0.
Sprawdź, że
\(\displaystyle{ \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}f(x)=0}\),
skąd wynika, że \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją stałą. Ale \(\displaystyle{ f(0)=0}\), więc \(\displaystyle{ f(x)=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x\in [-1,1]}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 47
- Rejestracja: 20 lip 2010, o 16:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Imielin
- Pomógł: 7 razy
tożsamość cyklometryczna
Można też tak:
Ponieważ dziedziny obu stron równości do dowiedzenia są równe i funkcje arc sin i arc tg są różnowartościowe mogę potraktować obie strony funkcją tangens.
Czyli \(\displaystyle{ arcsinx=arctg \frac{x}{ \sqrt{1-x ^{2} } } \Leftrightarrow tg(arcsinx)=tg(arctg \frac{x}{ \sqrt{1-x ^{2} } })}\)
a zatem równoważnie
\(\displaystyle{ \frac{ sin(arcsinx)}{(cos(arcsinx)}= \frac{x}{ \sqrt{1-x ^{2} } }}\)
\(\displaystyle{ cos(x)= \sqrt{1-sin ^{2}x} \Rightarrow cos(arcsinx)= \sqrt{1-sin ^{2}arcsinx} = \sqrt{1-x ^{2}}\)
wstawiając do równości otrzymamy to co chcemy.
Ponieważ dziedziny obu stron równości do dowiedzenia są równe i funkcje arc sin i arc tg są różnowartościowe mogę potraktować obie strony funkcją tangens.
Czyli \(\displaystyle{ arcsinx=arctg \frac{x}{ \sqrt{1-x ^{2} } } \Leftrightarrow tg(arcsinx)=tg(arctg \frac{x}{ \sqrt{1-x ^{2} } })}\)
a zatem równoważnie
\(\displaystyle{ \frac{ sin(arcsinx)}{(cos(arcsinx)}= \frac{x}{ \sqrt{1-x ^{2} } }}\)
\(\displaystyle{ cos(x)= \sqrt{1-sin ^{2}x} \Rightarrow cos(arcsinx)= \sqrt{1-sin ^{2}arcsinx} = \sqrt{1-x ^{2}}\)
wstawiając do równości otrzymamy to co chcemy.