Najmniejsza i największa wartośc funkcji trygonometrycznej.

[zielinciech]

Wyznaczyć najmniejszą i największą wartośc funkcji:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{\sin x+\cos x}}\)

[Vardamir]

Podpowiedz:

\(\displaystyle{ \sin{x} + \cos{x} = \sqrt{2}\sin{(\frac{\pi}{4}+x)}}\)

[zielinciech]

Czy to rozwiązanie jest poprawne??
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{\sin x+\cos x}}\)
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{\sqrt{2} \sin (x+ \frac{\pi}{4})}}\)

\(\displaystyle{ -1 \le \sin (x+ \frac{\pi}{4}) \le 1}\)
\(\displaystyle{ - \sqrt{2} \le \ \sqrt{2} sin (x+ \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{-1}{ \sqrt{2}} \le \frac{1}{ \sqrt{2} sin (x+ \frac{\pi}{4}) }\le \frac{1}{\sqrt{2}}}\)

[Vardamir]

Moja podpowiedz była myląca.

Zastanów się najpierw co jest dziedziną funkcji.

edit
Choć z tego co wyliczyłeś też już coś wynika.

[zielinciech]

również się pomyliłem, zapomniałem dopisac warunku z treści zadania :/

\(\displaystyle{ x \in (0,\frac{ \pi }{2}]}\)-- 21 paź 2012, o 10:47 --ok najmniejsza wartośc jest w 0 i nie wynosi -1 tylko 0??

[Vardamir]

W ostatniej linijce twoich rachunków trzeba zmienić znaki nierówności na przeciwne. Ale tak jak mówiłem ta podpowiedz jest myląca.

\(\displaystyle{ \frac{-1}{ \sqrt{2}} \ge \frac{1}{ \sqrt{2} sin (x+ \frac{\pi}{4}) }\ge \frac{1}{\sqrt{2}}}\)

Ale zauważ następującą rzecz.
\(\displaystyle{ (\frac{1}{\sin x+\cos x})' = \frac{\sin x - \cos x}{(\sin x + \cos x)^{2}}}\)
Kiedy funkcja ma minimum, a kiedy maksimum? Jak się ma do tego pochodna funkcji?

[zielinciech]

nie miałem pochodnych, ciężko mi się odnieśc

[Vardamir]

Hmm..

Więc tak, zauważ że w przedziale który podałeś wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2} \sin(x+\frac{\pi}{4})}}\) jest dodatnie.

Wiemy już, że:
\(\displaystyle{ \frac{-1}{ \sqrt{2}} \ge \frac{1}{ \sqrt{2} sin (x+ \frac{\pi}{4}) }\ge \frac{1}{\sqrt{2}}\\
\frac{1}{ \sqrt{2} sin (x+ \frac{\pi}{4}) } \le \frac{-1}{ \sqrt{2}} \vee \frac{1}{ \sqrt{2} sin (x+ \frac{\pi}{4}) } \ge \frac{1}{\sqrt{2}}}\)

Teraz sprawdzamy wartość w punkcie \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\). W obu przypadkach wychodzi \(\displaystyle{ 1}\).

Zatem minimum wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}}}\) ,a maximum 1.

[zielinciech]

dlaczego musimy sprawdzic wartosci w tych punktach??

[Vardamir]

Bo funkcja jest monotoniczna przedziałami.