udowodnij nierówność trygonometryczną

[sulaw]

gdy \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) i każde \(\displaystyle{ x _{1},\ldots ,x _{n} \in \left\{ 0,\pi\right\}}\)

\(\displaystyle{ \left| \sin \left( x _{1}+\ldots+x _{n} \right) \right| \le \sin x _{1}+\ldots+\sin x _{n}}\)

[sebnorth]

Domyślam się, że chodzi o takie założenie \(\displaystyle{ x _{1},...,x _{n} \in \left[ 0,\pi\right].}\)

Proszę spróbować dowód indukcyjny plus wzór na sinus sumy dwóch kątów.

[sulaw]

Wiem, że to zadanie na indukcję. Problem polega na tym, że nie potrafię uogólnić wzoru na sumę sinusów na tyle zmiennych oraz jak najsensowniej przeprowadzić dowód indukcyjny. Pomożesz?

[Premislav]

Proszę o kontrolę antyblefową. :>
niech \(\displaystyle{ x _{1}+x _{2}+....+x _{n}=\delta}\) (bo nie będzie mi się chciało przepisywać)
Mamy \(\displaystyle{ \left| \sin (\delta+x _{n+1}) \right|=\left| \sin\delta \cdot \cos x _{n+1}+\cos\delta \cdot \sin x_{n+1} \right|}\) (wzór na sinus sumy)
z nierówności trójkąta:
\(\displaystyle{ \left|\sin (\delta+x _{n+1}) \right|=\left| \sin\delta \cdot \cos x _{n+1}+\cos\delta \cdot \sin x_{n+1} \right| \le \left| \sin\delta \cdot \cos x _{n+1} \right|+\left| \cos\delta \cdot \sin x _{n+1} \right|}\)
nu ale:
\(\displaystyle{ \left| \sin\delta \cdot cos x _{n+1} \right|=\left|\cos x _{n+1} \right|\left|\sin\delta \right| \le \left| \sin\delta\right|}\) (korzystając ze zbioru wartości cosinusa) i tutaj możemy wykorzystać założenie indukcyjne.
Zostaje \(\displaystyle{ \left| \cos\delta \cdot \sin x _{n+1} \right| \le \left| \sin x _{n+1} \right|}\) (tu korzystamy znów ze znajomości zbioru wartości cosinusa, a jako że \(\displaystyle{ \sin x _{n+1}}\) jest nieujemny, możemy ordynarnie wstawić moduł ).
I to chyba tyle.

[sulaw]

Właśnie się zastanawiam, dlaczego ja na to nie wpadłem Chyba nie powinienem zajmować się matematyką późnym wieczorem;)
Dzięki.

[ulka5112]

a ja mam pytanie, zostało udowodnione, że
\(\displaystyle{ \left| \sin \left( x _{1}+\ldots+x _{n}+x _{n+1} \right) \right| \le \left|\sin\delta \right| +\left| sin x_{n+1} \right|}\)
ale przecież po prawej stronie równania jest:
\(\displaystyle{ \sin x _{1}+\ldots+\sin x _{n}}\)
czy ktoś mógłby trochę jaśniej pokazać ostatnią partię dowodu?