Nierówność trygonometryczna - problem

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
zielinciech
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 3 lis 2009, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ciechocinek
Podziękował: 1 raz

Nierówność trygonometryczna - problem

Post autor: zielinciech »

Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania:
\(\displaystyle{ \cos x + \tg x < 1 + \sin x}\)
Ostatnio zmieniony 19 paź 2012, o 20:08 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Nierówność trygonometryczna - problem

Post autor: Premislav »

\(\displaystyle{ \tg x= \frac{\sin x}{\cos x}}\)
Zatem \(\displaystyle{ \cos x \neq 0}\)
Następnie ja bym wszystko podzielił i pomnożył przez \(\displaystyle{ \cos x}\), przerzucił na jedną stronę i skorzystał z jedynki trygonometrycznej. Potem ewentualnie jakiś wzór redukcyjny+ wzór na sumę sinusów czy coś, jeśli nic sprytniejszego nie wyjdzie.
Ostatnio zmieniony 19 paź 2012, o 20:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: \cos.
zielinciech
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 3 lis 2009, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ciechocinek
Podziękował: 1 raz

Nierówność trygonometryczna - problem

Post autor: zielinciech »

próbowałem na różne sposoby ale nie wychodzi :/
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Nierówność trygonometryczna - problem

Post autor: piasek101 »

Przypadki.

1) cosinus dodatni - pomnożyć przez niego stronami; wszystko na lewą; pogrupować; postać iloczynowa; kończyć.

2) cosinus ujemny - podobnie
Awatar użytkownika
bb314
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 871
Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Namysłów
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 321 razy

Nierówność trygonometryczna - problem

Post autor: bb314 »

\(\displaystyle{ \cos x + \tg x < 1 + \sin x}\)
\(\displaystyle{ \blue\cos x \neq 0}\)
\(\displaystyle{ \cos x+\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x-1<0}\)
\(\displaystyle{ \frac{\cos^2x+\sin x-\sin x\,\cos x- \cos x}{\cos x}<0}\)
\(\displaystyle{ \frac{\cos^2x-\sin x\,\cos x- \cos x+\sin x}{\cos x}<0}\)
\(\displaystyle{ \frac{\cos x \left( \cos x-\sin x \right) - \left( \cos x-\sin x \right) }{\cos x}<0}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \left( \cos x-\sin x \right) \left( \cos x-1 \right) }{\cos x}<0}\)

poza przypadkiem, że \(\displaystyle{ \cos x=1}\) zawsze \(\displaystyle{ \cos x-1<0}\), więc musi być
\(\displaystyle{ \frac{\cos x-\sin x}{\cos x}>0}\)
\(\displaystyle{ 1-\tg x>0}\)
\(\displaystyle{ \tg x<1\ \wedge\ \cos x \neq 1}\)
\(\displaystyle{ \magenta x\in \left( -\frac{\pi}{2}+2k\pi, 2k\pi \right) \cup \left( 2k\pi,\ \frac{\pi}{4}+2k\pi \right) \cup \left( \frac{\pi}{2}+2k\pi,\ \frac{5\pi}{4}+2k\pi \right)}\)
Ostatnio zmieniony 19 paź 2012, o 22:18 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skaluj nawiasy.
ODPOWIEDZ