Monotoniczność funkcji

[monn933]

Zbadać monotoniczność funkcji:

a) \(\displaystyle{ f\left( x\right) = \cos \left( x+ \pi \right)}\)
b) \(\displaystyle{ f\left( x\right) = \tg \left( 4x\right)}\)
c) \(\displaystyle{ f\left( x\right) = \sin \left( 3\left( x+ \frac{ \pi }{3} \right) \right)}\)

[bb314]

policz pochodne
sprawdź w jakich przedziałach pochodna jest dodatnia a w jakich ujemna

[monn933]

\(\displaystyle{ a) \cos \left( x+ \pi \right)= - \cos x}\)
Rosnąca w przedziale : \(\displaystyle{ \left( -2k \pi ; \pi +2k \pi \right)}\)
Malejąca: \(\displaystyle{ \left( - \pi +2k \pi ;2k \pi \right)}\)
?
w b pochodna to: \(\displaystyle{ \frac{4}{\cos ^{2}\left( 4x\right) }}\) ?
c) funkcja rośnie : \(\displaystyle{ \left( k \pi ; \pi +k \pi \right)}\)
maleje: \(\displaystyle{ \left( \pi + \pi ;2 \pi +k \pi \right)}\)

?

[bb314]

\(\displaystyle{ f(x)=\cos(x+\pi)\ \ \ \to\ \ \ f'(x)=-\sin(x+\pi)=\sin x}\)

\(\displaystyle{ f'(x)>0\ \ \to\ \ x\in(2k\pi, \pi+2k\pi)}\) - funkcja jest rosnąca
\(\displaystyle{ f'(x)<0\ \ \to\ \ x\in(\pi+2k\pi, 2(k+1)\pi)}\) - funkcja jest malejąca

[monn933]

Dziękuję, a co z b i c?

[bb314]

b)
\(\displaystyle{ f\left( x\right) = \tg \left( 4x\right)}\)
tangens jest funkcją zawsze rosnącą w swojej dziedzinie, czyli gdy
\(\displaystyle{ 4x \neq \frac12\pi+k\pi\ \ \to\ \ \blue x \neq \frac18\pi+\frac k4\pi}\)


c)
\(\displaystyle{ f\left( x\right) = \sin \left( 3\left( x+ \frac{ \pi }{3} \right) \right)}\)

funkcja jest rosnąca, gdy
\(\displaystyle{ \frac32\pi+2k\pi < 3\left( x+ \frac{ \pi }{3} \right) < \frac52\pi+2k\pi}\)
\(\displaystyle{ \frac36\pi+\frac23k\pi <x+\frac13\pi<\frac56\pi+\frac23k\pi}\)
\(\displaystyle{ \frac36\pi-\frac13\pi+\frac23k\pi<x<\frac56\pi-\frac13\pi+\frac23k\pi\ \ \to\ \ \blue x\in\left(\frac16\pi+\frac23k\pi,\ \frac36\pi+\frac23k\pi\right)}\)

funkcja jest malejąca, gdy
\(\displaystyle{ \blue x\in\left(\frac36\pi+\frac23k\pi,\ \frac56\pi+\frac23k\pi\right)}\)