równania i nierówności

[mentallycalm]

e) \(\displaystyle{ |\tg x+\ctg x|= \frac{4}{ \sqrt{3} }}\) ;
f) \(\displaystyle{ |\sin x|>|\cos x|}\);
g) \(\displaystyle{ \frac{\cos 2x+\cos x-1}{\cos 2x} >2}\)

[loitzl9006]

Wskazówki:

e) Dziedzina, potem wykorzystaj to, że \(\displaystyle{ \tg x + \ctg x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{ \sin x \cdot \cos x} = \frac{2}{ \sin 2x}}\) i rozwiązujesz przedziałami

f) \(\displaystyle{ \cos x = \sin \left( x+ \frac{ \pi }{2} \right)}\) i też przedziałami. Przyda się wzór na sumę/różnicę sinusów.

g) Dziedzina, potem przenieś \(\displaystyle{ 2}\) na drugą stronę, potem do wspólnego mianownika, potem pomnóż obustronnie przez kwadrat mianownika czyli \(\displaystyle{ \left( \cos 2x\right)^2}\) - liczbę dodatnią dla każdego \(\displaystyle{ x}\) z dziedziny, zatem znak nierówności \(\displaystyle{ >}\) nie ulegnie zmianie. Potem wykorzystaj fakt, że \(\displaystyle{ \cos 2x = 2 \cos^2x-1}\) i po podstawieniu \(\displaystyle{ t= \cos x; \ t \in \left\langle -1;1 \right\rangle \setminus \left\{ - \frac{ \sqrt{2} }{2} ;\frac{ \sqrt{2} }{2} \right\}}\) masz nierówność wielomianową do rozwiązania. Dlaczego takie założenia co do \(\displaystyle{ t}\)? Bo \(\displaystyle{ \cos 2x}\), który jest w mianowniku, po podstawieniu będzie wyglądał tak: \(\displaystyle{ 2t^2-1}\). Trzeba wyciąć dwie liczby dla których jest równy zero.

[mentallycalm]

a czy moglam zrobic tak ze w :
e) \(\displaystyle{ \tg x+\ctg x= \frac{4}{ \sqrt{3} } \ \ \ \mbox{lub} \ \ \ \tg x+\ctg x= - \frac{4}{ \sqrt{3} }}\)
i potem za \(\displaystyle{ \ctg x}\) wstawilam \(\displaystyle{ \frac{1}{\tg x}}\) i po wyliczeniu tych 2 przypadkow wyszlo ze \(\displaystyle{ \tg x_{1} = \frac{2 \sqrt{3} }{3} , \ \ \tg x_2 = 2 \sqrt{3} , \ \ \tg x_{3} = - \sqrt{3} , \ \ \tg x_4 = - \frac{ \sqrt{3} }{3}}\)

f) nie mam pojecia jak zrobic

g) zrobilam tak :
pomnozylam obustronnie przez \(\displaystyle{ \cos 2x}\)

\(\displaystyle{ \cos 2x+\cos x-1>2\cos 2x \\
\cos 2x-2\cos 2x+\cos x-1>0}\)

i z definicji ze \(\displaystyle{ 2\cos^2x-1}\) to \(\displaystyle{ \cos 2x}\)

\(\displaystyle{ \cos 2x-\cos 2x+\cos x>0}\)

\(\displaystyle{ \cos x>0}\) i z wykresu odczytalam i wyszlo

\(\displaystyle{ x \in (- \frac{ \pi }{2} +2k \pi , \frac{ \pi }{2}+2k\pi)}\), \(\displaystyle{ k}\) nalezy do calkowitych

moze tak byc czy jest to zle ?

[loitzl9006]

e) możesz robić tą metodą (rozbić na dwa równania) pod warunkiem że będziesz świadoma dla jakich iksów rozwiązujesz każde z tych dwóch równań \(\displaystyle{ \tg x+\ctg x= \frac{4}{ \sqrt{3} } , \ \ \tg x+\ctg x= - \frac{4}{ \sqrt{3} }.}\) Pierwsze z nich jest słuszne tylko dla iksów spełniających nierówność \(\displaystyle{ \tg x+\ctg x \ge 0}\), drugie - dla iksów takich, że \(\displaystyle{ \tg x+\ctg x < 0}\). To mam nadzieję że jest jasne - wynika z wart. bezwzględnej.

Jeżeli z równania \(\displaystyle{ \tg x+\ctg x= \frac{4}{ \sqrt{3} }}\) które sobie doprowadzasz do równ. kwadratowego, wyjdzie Ci w końcu jakiś \(\displaystyle{ x}\) który nie spełnia nierówności \(\displaystyle{ \tg x+\ctg x \ge 0}\), to nie będzie on rozw. równania wyjściowego. Trzeba być tego świadomym i rozwiązać najpierw nierówności \(\displaystyle{ \tg x+\ctg x \ge 0, \ \ \tg x+\ctg x < 0}\)

f) Rozbij na cztery przypadki:

1) sinus nieujemny i cosinus ujemny,
2) sinus ujemny i cosinus nieujemny itd
3) ..
4) ...

przyda się znajomość "wierszyka trygonometrycznego"

i potem skorzystaj z tego co napisałem wcześniej i wykorzystaj wzór na sinus sumy (np. na wikipedii jest ten wzór), dalej powinno jakoś pójść - a jeżeli nie - pisz.

g) W nierównościach jest tak, że jeżeli mnożymy obustronnie nierówność przez liczbę dodatnią to nie zmieniamy znaku, a jeżeli przez ujemną to należy zmienić znak nierówności. Liczba \(\displaystyle{ \cos 2x}\) może przyjmować zarówno dodatnie jak i ujemne wartości - dlatego polecam moją metodę do tego przykładu. Jeżeli chcesz pozostać przy swojej - to należałoby najpierw ustalić, kiedy (w sensie dla jakich iksów) \(\displaystyle{ \cos 2x}\) jest dodatni, a kiedy ujemny. Potem rozwiązać nierówność tylko dla tych iksów, dla których \(\displaystyle{ \cos 2x}\) jest dodatni. Rozwiązaniem tej nierówności będzie część wspólna otrzymanego rozwiązania, i rozwiązania \(\displaystyle{ \cos 2x \ge 0}\). Jak już to rozwiążesz to zajmujesz się przypadkiem \(\displaystyle{ \cos 2x<0}\) (analogicznie jak pierwszy przypadek). Jak nie rozumiesz czegoś - pisz śmiało.