Wartość wyrażenia w wartości bezwzględnej.

[dawid.barracuda]

Witam. Mam takie zadanie: kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) jest taki, że \(\displaystyle{ \cos \alpha + \sin \alpha = \frac{4}{3}}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \left| \cos \alpha - \sin \alpha \right|}\).

Otóż kombinowałem tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos \alpha + \sin \alpha = \frac{4}{3} \\ \sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha = 1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ (\cos \alpha + \sin \alpha)^2 - 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{4}{3}\right)^2 - 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1}\)
Dochodzę do momentu:
\(\displaystyle{ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{7}{18}}\)

Jestem na dobrym tropie? Jeśli tak to co dalej? Bo tą drogą doszedłem do równania kwadratowego, ale potem wychodziło jakieś dziadostwo, bo jeśli bym na podstawie otrzymanego tym sposobem sinusa chciał wyciągnąć cosinusa z jedynki trygonometrycznej to zagnieżdżone pierwiastki wychodzą. Jak to mądrze ruszyć? Proszę o wskazówki i pozdrawiam.

[G17]

Zauważ że \(\displaystyle{ \left| \cos \alpha - \sin \alpha \right| = \sqrt{\left( \cos \alpha - \sin \alpha \right)^{2} } = \sqrt{\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha} = \sqrt{1- 2 \sin \alpha \cos \alpha}}\)

\(\displaystyle{ \left( \frac{4}{3}\right)^2 - 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1 \iff 2 \sin \alpha \cos \alpha =\left( \frac{4}{3}\right)^{2} -1 = \frac{7}{9}}\)

[dawid.barracuda]

Czyli idąc dalej:
\(\displaystyle{ \sqrt{1- 2 \sin \alpha \cos \alpha} = \sqrt{1- \frac{7}{9} } = \frac{ \sqrt{2} }{3}}\)?

[G17]

Tak

[dawid.barracuda]

Przyznam szczerze, że super ten chwyt z pierwiastkiem Dzięki wielkie za pomoc! Pozdrawiam!