Równania parametryczne opisujące ruch wskazówek zegara

[MisterWolf]

Wzór \(\displaystyle{ x(t) = 5\cos \left( \frac{\pi}{2}-2 \pi t\right) , y(t) = 5\sin \left( \frac{\pi}{2}-2 \pi t\right) , t \in [0,24]}\) opisuje położenie końca minutowej wskazówki zegarka jako funkcję czasu.
Jaka jest długość tej wskazówki ? 5, bo po rozwiązaniu powyższego dostałem równanie okręgu o środku (0,0) i promieniu 5.
a) Opisz ruch końca małej wskazówki (o długości 3).
Analogicznie do dużej wskazówki, uznałem, że będzie to
\(\displaystyle{ x(t) = 3\cos \left( \frac{\pi}{2}-2 \pi t\right) , y(t) = 3\sin \left( \frac{\pi}{2}-2 \pi t\right) , t \in [0,24]}\)
dobrze ?
b) Opisz dlugość odcinka łączącego końce wskazówek (jako funkcję czasu). Jaki okres ma ta funkcja?
Tutaj wydaje mi się, że można by policzyć odległość między położeniem końcowych punktów obu wskazówek, tzn. \(\displaystyle{ d(t) = \sqrt{\left[5\cos \left( \frac{\pi}{2}-2 \pi t\right)-3\cos \left( \frac{\pi}{2}-2 \pi t\right)\right]^2+ \left[5\sin \left( \frac{\pi}{2}-2 \pi t\right)-3\sin \left( \frac{\pi}{2}-2 \pi t\right) \right]^2}=2}\)
Czyli bzdura, bo to nie może być funkcja stała. Jak to zrobić ?
c) Jak zmienić powyższe, gdy zegar późni się (jednostajnie) 5 minut na dobę?
Tutaj nie wiem kompletnie.

Z góry dzięki za pomoc.

[kropka+]

a) Opisz ruch końca małej wskazówki (o długości 3).
Analogicznie do dużej wskazówki, uznałem, że będzie to
\(\displaystyle{ x \left( t \right) = 3\cos \left( \frac{\pi}{2}-2 \pi t \right) , y \left( t \right) = 3\sin \left( \frac{\pi}{2}-2 \pi t \right) , t \in \left[ 0,24 \right]}\)
dobrze ?

Źle. Te funkcje opisują współrzędne końca wskazówki minutowej o długości 3.
Wskazówka godzinowa obraca się \(\displaystyle{ 12}\)-krotnie wolniej od minutowej (dlaczego?).
Powinno więc być tak:

\(\displaystyle{ x \left( t \right) = 3\cos \left( \frac{\pi}{2}- \frac{ \pi t}{6} \right) , \ y \left( t \right) = 3\sin \left( \frac{\pi}{2}- \frac{ \pi t}{6} \right) , \ t \in \left[ 0,24 \right]}\)

[MisterWolf]

Dziękuję. Czyli należy założyć o minutowej wskazówce, że się porusza za jednym taktem o 5 minut ? Dzięki temu wskazówka godzinna rzeczywiście porusza się raz na 12 ruchów minutowej (czyli raz na godzinę). Skąd takie założenie ?
Sposób w jaki rozwiązuję podpunkt b) jest dobry ? W jego wyniku w związku z powyższym otrzymuję zatem:

\(\displaystyle{ d(x) = \sqrt\left(34-30\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}-2\pi t\right)\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}t\right)+\sin\left(\frac{\pi}{2}-2\pi t\right)\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}t\right)\right)}\)

cóż można powiedzieć o takiej funkcji, jaki jest jej okres ?

Jak zabrać się do podpunktu c) ?

[kropka+]

Czyli należy założyć o minutowej wskazówce, że się porusza za jednym taktem o 5 minut ? Dzięki temu wskazówka godzinna rzeczywiście porusza się raz na 12 ruchów minutowej (czyli raz na godzinę). Skąd takie założenie ?

Dziwne rozumowanie. W ciągu godziny wskazówka minutowa zakreśla kąt \(\displaystyle{ 2 \pi}\) a wskazówka godzinowa kąt \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6}}\). Jak podzielisz jedno przez drugie to dostaniesz \(\displaystyle{ 12}\). Czyli minutowa porusza się \(\displaystyle{ 12}\) razy szybciej.

W Twoim wzorze zamiast \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}-2}\) powinno być \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}-2 \pi t}\) - pewnie literówka.
Okres tej funkcji najłatwiej wyliczyć odpowiadając na pytanie co jaki czas wskazówki pokrywają się. Wiadomo, że o godzinie \(\displaystyle{ 0.00}\) pokrywają się. A ile czasu minie do następnego pokrycia się wskazówek? To będzie okres T.
W czasie T wskazówka godzinowa przebędzie kąt \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi T}{6}}\).
W czasie T wskazówka minutowa przebędzie kąt \(\displaystyle{ x+2 \pi =2 \pi T}\)

Rozwiązujemy ten układ równań i dostajemy \(\displaystyle{ T= \frac{12}{11}}\) godziny.
To jest okres funkcji odległości pomiędzy końcami wskazówek.


c)
Wskazówka: Gdy zegar późni się jednostajnie o \(\displaystyle{ 5}\) minut na dobę to w ciągu godziny
wskazówka minutowa zakreśla kąt \(\displaystyle{ 2 \pi - \frac{ \pi }{6 \cdot 24}}\). A godzinowa ...

[MisterWolf]

W Twoim wzorze zamiast \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}-2}\) powinno być \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}-2 \pi t}\) - pewnie literówka.

Tak literówka.
(c) Postępując analogicznie dla wskazówki godzinowej dostajemy z proporcji kąt opóźnienia:

Skoro kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\) to \(\displaystyle{ 60}\) min
to kąt \(\displaystyle{ x}\) to \(\displaystyle{ \frac{5}{24}}\) min. Wtedy otrzymuję \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{6 \cdot 12 \cdot 24}}\), czyli w ciągu godziny wskazówka godzinowa zakreśli \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6 \cdot 12 \cdot 24}}\). Tak ?

Wielkie dzięki za pomoc.

[kropka+]

tak