nierówność trygonometryczna
nierówność trygonometryczna
\(\displaystyle{ \frac{\cos \left( x \right) }{1-\cos \left( x \right) } \ge 1}\)
Ostatnio zmieniony 6 paź 2012, o 16:02 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
nierówność trygonometryczna
Przecież to jakiś bug. Weź sobie \(\displaystyle{ \cos x= -\frac{1}{2}}\) ...
EDIT: zbyt głodny jestem, sorry. Już: mnożysz przez mianownik podniesiony do kwadratu przy założeniu uniemożliwiającym \(\displaystyle{ 0}\) w mianowniku, podstawiasz \(\displaystyle{ t=\cos x}\) i do widzenia.
EDIT2: właściwie to \(\displaystyle{ \cos x \le 1}\), więc nie wiem, po kiego żem wymodził z tym kwadratem, idę na obiad.
EDIT: zbyt głodny jestem, sorry. Już: mnożysz przez mianownik podniesiony do kwadratu przy założeniu uniemożliwiającym \(\displaystyle{ 0}\) w mianowniku, podstawiasz \(\displaystyle{ t=\cos x}\) i do widzenia.
EDIT2: właściwie to \(\displaystyle{ \cos x \le 1}\), więc nie wiem, po kiego żem wymodził z tym kwadratem, idę na obiad.
-
loitzl9006
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
nierówność trygonometryczna
Dziedzina: \(\displaystyle{ \cos(x) \neq 1}\) czyli \(\displaystyle{ x \neq 2k \pi}\)
\(\displaystyle{ \frac{\cos \left( x \right) }{1-\cos \left( x \right) } \ge 1 \\ \\ \frac{\cos \left( x \right) }{1-\cos \left( x \right) } - \frac{1-\cos \left( x \right) }{1-\cos \left( x \right) } \ge 0 \\ \\ \frac{2\cos \left( x \right) -1}{1-\cos \left( x \right) } \ge 0}\)
Teraz mnożymy obustronnie przez mianownik (jest on dodatni dla każdego iksa z dziedziny, więc znak nierówności \(\displaystyle{ \ge}\) zostaje bez zmian)
\(\displaystyle{ 2\cos (x) - 1 \ge 0 \\ \\ \cos (x) \ge \frac{1}{2} \\ \\ x \in \left\langle - \frac{ \pi }{3}+2k \pi; \ 2k \pi \right) \cup \left( 2k \pi ; \ \frac{ \pi }{3}+2k \pi \right\rangle}\)
\(\displaystyle{ \frac{\cos \left( x \right) }{1-\cos \left( x \right) } \ge 1 \\ \\ \frac{\cos \left( x \right) }{1-\cos \left( x \right) } - \frac{1-\cos \left( x \right) }{1-\cos \left( x \right) } \ge 0 \\ \\ \frac{2\cos \left( x \right) -1}{1-\cos \left( x \right) } \ge 0}\)
Teraz mnożymy obustronnie przez mianownik (jest on dodatni dla każdego iksa z dziedziny, więc znak nierówności \(\displaystyle{ \ge}\) zostaje bez zmian)
\(\displaystyle{ 2\cos (x) - 1 \ge 0 \\ \\ \cos (x) \ge \frac{1}{2} \\ \\ x \in \left\langle - \frac{ \pi }{3}+2k \pi; \ 2k \pi \right) \cup \left( 2k \pi ; \ \frac{ \pi }{3}+2k \pi \right\rangle}\)