Jak wyznaczyć kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) ?
\(\displaystyle{ \cos \alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha=-\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
wiem z wierszyka, że chodzi o 4 ćwiartkę
ale jak teraz wyznaczyć kąt?? powinno wyjść \(\displaystyle{ \frac{7}{4} \pi}\)
ale jak to się wylicza? Proszę o pomoc.
wyznaczenie kąta
-
- Użytkownik
- Posty: 382
- Rejestracja: 22 wrz 2012, o 17:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lodz
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 124 razy
wyznaczenie kąta
Zauważ że \(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}}\)
Teraz rozwiaż elementarne rownanie trygonometryczne i patrz dla katow ostatniej cwiartki bo tam \(\displaystyle{ \cos x > 0 \wedge \sin x < 0}\)
Teraz rozwiaż elementarne rownanie trygonometryczne i patrz dla katow ostatniej cwiartki bo tam \(\displaystyle{ \cos x > 0 \wedge \sin x < 0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 310
- Rejestracja: 28 lut 2009, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 110 razy
wyznaczenie kąta
\(\displaystyle{ \alpha= \frac{\pi}{4}}\)
ale teraz muszę uwzględnić 4 ćwiartkę
jak to zrobić?
ale teraz muszę uwzględnić 4 ćwiartkę
jak to zrobić?
-
- Użytkownik
- Posty: 382
- Rejestracja: 22 wrz 2012, o 17:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lodz
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 124 razy
wyznaczenie kąta
Zauważ że rozwiazanie takiego rownania \(\displaystyle{ \cos x = \alpha}\) generuje nam dwa ciagi rozwiazan jeżeli \(\displaystyle{ -1 < \alpha < 1}\)
Rownanie \(\displaystyle{ \cos x = \alpha}\) ma dwa ciagi rozwiazan. Jeden generowany przez \(\displaystyle{ \alpha}\) natomiast drugi przez \(\displaystyle{ - \alpha}\) i potem co pełne \(\displaystyle{ 2\pi}\) w obie strony rozwiazania sie powtarzaja.
\(\displaystyle{ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \iff x = \frac{\pi}{4} \vee x = -\frac{\pi}{4}}\)
To można odczytac z tablic albo wykresu bo liczba \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\) jest bardzo charakterystyczna dla takich funkcji jak sinus czy kosinus
To teraz trzeba zauważyc że \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{4}}\) jak przejdzie pełny obieg o \(\displaystyle{ 2\pi}\) to przyjmie wartosc \(\displaystyle{ \frac{7\pi}{4}}\). Jest to kat ostatniej cwiartki ponieważ \(\displaystyle{ \frac{7 \pi}{4} \in \left( \frac{3}{2} \pi, 2\pi \right)}\) w ktorej \(\displaystyle{ \cos x > 0}\) oraz \(\displaystyle{ \sin x < 0}\)
Rownanie \(\displaystyle{ \cos x = \alpha}\) ma dwa ciagi rozwiazan. Jeden generowany przez \(\displaystyle{ \alpha}\) natomiast drugi przez \(\displaystyle{ - \alpha}\) i potem co pełne \(\displaystyle{ 2\pi}\) w obie strony rozwiazania sie powtarzaja.
\(\displaystyle{ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \iff x = \frac{\pi}{4} \vee x = -\frac{\pi}{4}}\)
To można odczytac z tablic albo wykresu bo liczba \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\) jest bardzo charakterystyczna dla takich funkcji jak sinus czy kosinus
To teraz trzeba zauważyc że \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{4}}\) jak przejdzie pełny obieg o \(\displaystyle{ 2\pi}\) to przyjmie wartosc \(\displaystyle{ \frac{7\pi}{4}}\). Jest to kat ostatniej cwiartki ponieważ \(\displaystyle{ \frac{7 \pi}{4} \in \left( \frac{3}{2} \pi, 2\pi \right)}\) w ktorej \(\displaystyle{ \cos x > 0}\) oraz \(\displaystyle{ \sin x < 0}\)