wyznaczenie kąta

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
franek89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 310
Rejestracja: 28 lut 2009, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 110 razy

wyznaczenie kąta

Post autor: franek89 »

Jak wyznaczyć kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) ?

\(\displaystyle{ \cos \alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha=-\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
wiem z wierszyka, że chodzi o 4 ćwiartkę
ale jak teraz wyznaczyć kąt?? powinno wyjść \(\displaystyle{ \frac{7}{4} \pi}\)
ale jak to się wylicza? Proszę o pomoc.
G17
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 382
Rejestracja: 22 wrz 2012, o 17:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lodz
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 124 razy

wyznaczenie kąta

Post autor: G17 »

Zauważ że \(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}}\)
Teraz rozwiaż elementarne rownanie trygonometryczne i patrz dla katow ostatniej cwiartki bo tam \(\displaystyle{ \cos x > 0 \wedge \sin x < 0}\)
franek89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 310
Rejestracja: 28 lut 2009, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 110 razy

wyznaczenie kąta

Post autor: franek89 »

\(\displaystyle{ \alpha= \frac{\pi}{4}}\)
ale teraz muszę uwzględnić 4 ćwiartkę
jak to zrobić?
G17
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 382
Rejestracja: 22 wrz 2012, o 17:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lodz
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 124 razy

wyznaczenie kąta

Post autor: G17 »

Zauważ że rozwiazanie takiego rownania \(\displaystyle{ \cos x = \alpha}\) generuje nam dwa ciagi rozwiazan jeżeli \(\displaystyle{ -1 < \alpha < 1}\)
Rownanie \(\displaystyle{ \cos x = \alpha}\) ma dwa ciagi rozwiazan. Jeden generowany przez \(\displaystyle{ \alpha}\) natomiast drugi przez \(\displaystyle{ - \alpha}\) i potem co pełne \(\displaystyle{ 2\pi}\) w obie strony rozwiazania sie powtarzaja.

\(\displaystyle{ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \iff x = \frac{\pi}{4} \vee x = -\frac{\pi}{4}}\)
To można odczytac z tablic albo wykresu bo liczba \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\) jest bardzo charakterystyczna dla takich funkcji jak sinus czy kosinus
To teraz trzeba zauważyc że \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{4}}\) jak przejdzie pełny obieg o \(\displaystyle{ 2\pi}\) to przyjmie wartosc \(\displaystyle{ \frac{7\pi}{4}}\). Jest to kat ostatniej cwiartki ponieważ \(\displaystyle{ \frac{7 \pi}{4} \in \left( \frac{3}{2} \pi, 2\pi \right)}\) w ktorej \(\displaystyle{ \cos x > 0}\) oraz \(\displaystyle{ \sin x < 0}\)
ODPOWIEDZ