Suma stu rozwiązań równania

[Baluu123]

witam!

Mam następujące pytanie:
Jeżeli rozpatrzymy równanie \(\displaystyle{ \sin 2x=\cos x}\) to najprostszym sposobem będzie zamiana \(\displaystyle{ \sin 2x}\) na \(\displaystyle{ 2\sin x\cos x}\), dzięki czemu będzie można zamienić całość na równanie:

\(\displaystyle{ \cos x(2\sin x-1)=0}\)

więc rozwiązania to\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2} + k\pi \vee x=\frac{\pi}{6} + 2k\pi \vee x=\frac{5\pi}{6} + 2k\pi}\)

Gdybyśmy chcieli policzyć teraz sumę 100 najmniejszych dodatnich rozwiązań takiego równania, to trzeba znaleźć pewien schemat i potem zsumować wszystkie takie rozwiązania.
Jednakże gdybyśmy chcieli zawrzeć to w jednym wzorze to wtedy wyglądałby on tak: \(\displaystyle{ x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3}}\).
Problem polega na tym, że jedyne co mi wychodzi to \(\displaystyle{ x =\frac{\pi}{6} + 2k\frac{\pi}{3}}\). Staram się jakoś wciągnąć tam tego minusa, ale nie mam pomysłu, dlatego proszę tutejszych forumowiczów o pomoc;]

[kropka+]

Jednakże gdybyśmy chcieli zawrzeć to w jednym wzorze to wtedy wyglądałby on tak: \(\displaystyle{ x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3}}\).
Problem polega na tym, że jedyne co mi wychodzi to \(\displaystyle{ x =\frac{\pi}{6} + 2k\frac{\pi}{3}}\).

Co chcesz zawrzeć w jednym wzorze? Jeżeli to ma być rozwiązanie nierówności to oba wzory są złe.

[bb314]

więc rozwiązania to\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2} + k\pi \vee x=\frac{\pi}{6} + 2k\pi \vee x=\frac{5\pi}{6} + 2k\pi}\)

tego nie da się zapisać w jednym wzorze


zapisałabym to trochę inaczej:
\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2} + 2k\pi \ \vee \ x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi \ \vee \ x=\frac{\pi}{6} + 2k\pi\ \vee \ x=\frac{5\pi}{6} + 2k\pi}\)
czyli mamy cztery pierwiastki w przedziale \(\displaystyle{ (0,2\pi)}\)
a więc musimy zsumować pierwiastki z 25 okresów, czyli dla \(\displaystyle{ k=0,1,2,3,...,24}\)

\(\displaystyle{ S=\sum_{k=0}^{24}\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi +\frac{3\pi}{2}+2k\pi+\frac{\pi}{6} + 2k\pi+\frac{5\pi}{6} + 2k\pi\right)=\\=
\sum_{k=0}^{24}\left(3\pi+8k\pi\right)=25\cdot 3\pi+\sum_{k=0}^{24}8k\pi=75\pi+8\pi\sum_{k=0}^{24}k=75\pi+8\pi\cdot300=\ \blue 2475\pi}\)

[Baluu123]

Dziękuję bardzo, teraz już widzę błędne rozumowanie.