Witam
Da się algebraicznie ustalić zbiór wartości takiej funkcji ?
\(\displaystyle{ f(x) = \tg x + \ctg x}\)
Wyznaczyć zbiór wartości funkcji
-
Tyranozaur
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 27 maja 2012, o 22:57
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Wyznaczyć zbiór wartości funkcji
Jeśli podstawić \(\displaystyle{ \tg x = t}\), to zadanie sprowadza się do zbadania możliwych wartości funkcji:
\(\displaystyle{ t+\frac 1t}\)
gdzie \(\displaystyle{ t}\) może być dowolną liczbą rzeczywistą różną od zera.
Dla \(\displaystyle{ t>0}\) mamy:
\(\displaystyle{ t+\frac 1t = \frac{t^2+1}{t}=\frac{t^2-2t+1+2t}{t}=\frac{(t-1)^2}{t}+2\ge 2}\)
a z uwagi na to, że dla \(\displaystyle{ t=1}\) przyjmowana jest wartość \(\displaystyle{ 2}\), natomiast w nieskończoności ta funkcja rośnie do nieskończoności, więc z uwagi na ciągłość przyjmuje dowolne wartości z przedziału \(\displaystyle{ [2,+infty )}\)
Spróbuj wykonać podobne rozumowanie dla \(\displaystyle{ t<0}\).
Q.
\(\displaystyle{ t+\frac 1t}\)
gdzie \(\displaystyle{ t}\) może być dowolną liczbą rzeczywistą różną od zera.
Dla \(\displaystyle{ t>0}\) mamy:
\(\displaystyle{ t+\frac 1t = \frac{t^2+1}{t}=\frac{t^2-2t+1+2t}{t}=\frac{(t-1)^2}{t}+2\ge 2}\)
a z uwagi na to, że dla \(\displaystyle{ t=1}\) przyjmowana jest wartość \(\displaystyle{ 2}\), natomiast w nieskończoności ta funkcja rośnie do nieskończoności, więc z uwagi na ciągłość przyjmuje dowolne wartości z przedziału \(\displaystyle{ [2,+infty )}\)
Spróbuj wykonać podobne rozumowanie dla \(\displaystyle{ t<0}\).
Q.