Równanie tryg

[szprot_w_oleju]

Byłbym wdzięczny gdyby ktoś pomógł mi z tym ruszyć:

\(\displaystyle{ \left( \sin x+\cos x \right) ^{3}= \left( \sin x-\cos x \right) ^{2}}\)

[kamil13151]

Lewą stronę możemy zmienić na coś optymalnego: \(\displaystyle{ \left( \sin x-\cos x \right) ^{2}=2-(\sin x+\cos x)^2}\).

Zatem do rozwiązania: \(\displaystyle{ \left( \sin x+\cos x \right) ^{3}= 2-(\sin x+\cos x)^2}\).

Wprowadzamy zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t=\sin x+\cos x}\) i do rozwiązania mamy równanie wielomianowe: \(\displaystyle{ t^3+t^2-2=0}\).

Szybko rozwiązujemy i mamy \(\displaystyle{ \sin x+\cos x=1}\).

Teraz wykonujemy przekształcenia lewej strony: \(\displaystyle{ \sin x + \cos x = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \sin x + \sin \frac{\pi}{4} \cos x \right) = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)}\).

W ostateczności do rozwiązania masz: \(\displaystyle{ \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)=1}\)

[szprot_w_oleju]

Lewą stronę możemy zmienić na coś optymalnego: \(\displaystyle{ \left( \sin x-\cos x \right) ^{2}=2-(\sin x+\cos x)^2}\).

To nie blef?

[kamil13151]

To nie blef?

Czy jedynka trygonometryczna jest blefem? (Do tego dochodzimy wykonując redukcję).

[szprot_w_oleju]

Spoko, dzięki. Właściwie tylko pierwsza linijka była mi potrzebna bo wcześniej coś w tym momencie pokręciłem.