\(\displaystyle{ \cos2x-2\cdot\cos x=-1,5}\)
Nierówności:
\(\displaystyle{ \frac{\cos x -1}{x}>3}\) w przedziale \(\displaystyle{ x (0;2\pi]}\)
\(\displaystyle{ \cos4x + 2\cos^2 x qslant 1}\)
Tożsamości:
\(\displaystyle{ \sin2x + \sin4x - \sin6x = 4 \sin x \sin2x \sin3x \\ \frac{\sin2x - \sin3x + \sin5x}{1 + \cos x - 2 \sin ^2 2x} = 2 \sin x}\)
Wykaż, że: \(\displaystyle{ cos 36 ^\circ - \sin 72 ^\circ = \frac{1}{2}}\)
Pare zadań z trygonometrii
-
piotrek1103
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 4 mar 2007, o 17:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bełchatów
Pare zadań z trygonometrii
Ostatnio zmieniony 4 mar 2007, o 21:15 przez piotrek1103, łącznie zmieniany 2 razy.
-
przemk20
- Użytkownik
- Posty: 1094
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olesno
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 236 razy
Pare zadań z trygonometrii
\(\displaystyle{ \\
cos2x-2cosx=-1,5 \\
2cos^{2}x-1-2cosx=-1,5 \\
cos^{2}x-cosx+\frac{1}{4}=0 \\
(cosx-\frac{1}{2})^{2} =0 \\
cosx=\frac{1}{2}, \ \ x=\frac{\pi}{6}+2k\pi, \ \ x=\frac{5}{6}\pi+2k\pi}\)
cos2x-2cosx=-1,5 \\
2cos^{2}x-1-2cosx=-1,5 \\
cos^{2}x-cosx+\frac{1}{4}=0 \\
(cosx-\frac{1}{2})^{2} =0 \\
cosx=\frac{1}{2}, \ \ x=\frac{\pi}{6}+2k\pi, \ \ x=\frac{5}{6}\pi+2k\pi}\)
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
Pare zadań z trygonometrii
Przy dowodzie pierwszej tożsamości skorzystam m.in. z wzorów na sumę sinusów i różnicę cosinusów:
\(\displaystyle{ \sin 2x + \sin 4x - \sin 6x= 2 \sin 3x \cos x - 2 \sin 3x \cos 3x= 2 \sin 3x ( \cos x - \cos 3x)= 2 \sin 3x ( -2 \sin 2x \sin (-x) )= 4 \sin x \sin 2x \sin 3x}\)
\(\displaystyle{ \sin 2x + \sin 4x - \sin 6x= 2 \sin 3x \cos x - 2 \sin 3x \cos 3x= 2 \sin 3x ( \cos x - \cos 3x)= 2 \sin 3x ( -2 \sin 2x \sin (-x) )= 4 \sin x \sin 2x \sin 3x}\)
-
piotrek1103
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 4 mar 2007, o 17:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bełchatów
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
Pare zadań z trygonometrii
Co do tych dwóch nierówności:
\(\displaystyle{ \frac{ \cos x -1}{ x} >3 \\ \cos x -1 >3x \\ \cos x >3x+1}\)
Zauważmy, że dla \(\displaystyle{ x>0}\) mamy:
\(\displaystyle{ x>0 \\ 3x>0 \\ 3x+1>1}\)
Tak więc prawa strona nierówności jest ostro większa od jedynki, ale \(\displaystyle{ \cos x q 1}\), więc dana nierówność nie zachodzi dla żadnych x należących do zadanego przedziału.
W drugiej nierówności skorzystam z wzoru \(\displaystyle{ \cos 2x= 2 \cos^2 x -1}\):
\(\displaystyle{ \cos 4x + 2 \cos^2 x q 1 \\ \cos 4x + 2 \cos^2 x - 1 q 0 \\ \cos 4x + \cos 2x q 0 \\ 2 \cos^2 2x -1 + \cos 2x q 0 \\ \cos^2 2x + \frac{1}{2} \cos 2x - \frac{1}{2} q 0 \\ ( \cos 2x +1)( \cos 2x - \frac{1}{2}) q 0}\)
Myślę, że dalej sobie tutaj poradzisz.
\(\displaystyle{ \frac{ \cos x -1}{ x} >3 \\ \cos x -1 >3x \\ \cos x >3x+1}\)
Zauważmy, że dla \(\displaystyle{ x>0}\) mamy:
\(\displaystyle{ x>0 \\ 3x>0 \\ 3x+1>1}\)
Tak więc prawa strona nierówności jest ostro większa od jedynki, ale \(\displaystyle{ \cos x q 1}\), więc dana nierówność nie zachodzi dla żadnych x należących do zadanego przedziału.
W drugiej nierówności skorzystam z wzoru \(\displaystyle{ \cos 2x= 2 \cos^2 x -1}\):
\(\displaystyle{ \cos 4x + 2 \cos^2 x q 1 \\ \cos 4x + 2 \cos^2 x - 1 q 0 \\ \cos 4x + \cos 2x q 0 \\ 2 \cos^2 2x -1 + \cos 2x q 0 \\ \cos^2 2x + \frac{1}{2} \cos 2x - \frac{1}{2} q 0 \\ ( \cos 2x +1)( \cos 2x - \frac{1}{2}) q 0}\)
Myślę, że dalej sobie tutaj poradzisz.
-
piotrek1103
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 4 mar 2007, o 17:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bełchatów
Pare zadań z trygonometrii
tak trzeba dalej to rozpatrzeć
\(\displaystyle{ I \ \cos2x = -1 \cos2x = \frac{1}{2} \\ II \ \cos2x < -1 \cos2x < \frac{1}{2} \\ III \ \cos2x > -1 \vee \cos2x > \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ I \ \cos2x = -1 \cos2x = \frac{1}{2} \\ II \ \cos2x < -1 \cos2x < \frac{1}{2} \\ III \ \cos2x > -1 \vee \cos2x > \frac{1}{2}}\)