Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ \tg x+\cos x= \frac{1}{\cos x} -\sin x}\)
Rozwiaz równanie.
Rozwiaz równanie.
Ostatnio zmieniony 11 wrz 2012, o 19:46 przez loitzl9006, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
wawek91
- Użytkownik
- Posty: 795
- Rejestracja: 2 cze 2010, o 08:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tarnów
- Podziękował: 14 razy
- Pomógł: 66 razy
Rozwiaz równanie.
Pomnóż wszystko przez \(\displaystyle{ \cos x}\) żeby się pozbyc ułamków potem wyciągnij co możliwe przed nawias i dalej już z górki.
Ostatnio zmieniony 11 wrz 2012, o 19:44 przez loitzl9006, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
Rozwiaz równanie.
ale pozostaje \(\displaystyle{ \sin x\cos x}\) i to jest problem
Ostatnio zmieniony 11 wrz 2012, o 19:45 przez loitzl9006, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
loitzl9006
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
Rozwiaz równanie.
\(\displaystyle{ D: \ \ x \neq \frac{ \pi }{2} + k \pi \\ \tg x+\cos x= \frac{1}{\cos x} -\sin x \\ \sin x + \cos^2x = 1 - \sin x \cos x \\ \sin x + 1- \sin^2x = 1 - \sin x \cos x \\ \sin x - \sin^2 x + \sin x \cos x = 0 \\ \sin x \left( 1- \sin x + \cos x\right) =0 \\ \sin x = 0 \ \ \ \mbox{lub} \ \ \ 1- \sin x + \cos x=0 \\ \\ \sin x - \cos x = 1 \\ \sin x - \sin \left( x + \frac{ \pi }{2} \right) = 1}\)
Korzystam ze wzoru \(\displaystyle{ \sin \magenta \alpha \black -\sin \blue \beta \black = 2 \sin\left( \frac{ \magenta \alpha \black - \blue \beta \black}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{ \magenta \alpha \black + \blue \beta \black}{2} \right)}\)
\(\displaystyle{ 2 \sin\left( \frac{\magenta x \black -\left( \blue x+ \frac{ \pi }{2} \black \right)}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{\magenta x \black +\left( \blue x+ \frac{ \pi }{2} \black \right)}{2} \right) = 1 \\ 2 \sin \left( - \frac{ \pi }{4} \right) \cdot \cos\left( x+ \frac{ \pi }{4} \right) = 1 \\ \cos\left(x+ \frac{ \pi }{4} \right) = - \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ x+\frac{ \pi }{4} = \pi - \frac{\pi}{4} +2k \pi \ \ \ \mbox{lub} \ \ \ x+\frac{ \pi }{4} = \pi + \frac{\pi}{4} +2k \pi \\ x= \frac{ \pi }{2} +2k \pi \ \ \ \mbox{lub} \ \ \ x= \pi +2k \pi}\)
Pierwsze nie należy do dziedziny, więc zostaje \(\displaystyle{ x= \pi +2k \pi}\). Jeszcze zostało wcześniejsze \(\displaystyle{ \sin x=0}\), z tego mamy \(\displaystyle{ x=k \pi}\). Zatem ostatecznie \(\displaystyle{ x=k \pi}\).
Korzystam ze wzoru \(\displaystyle{ \sin \magenta \alpha \black -\sin \blue \beta \black = 2 \sin\left( \frac{ \magenta \alpha \black - \blue \beta \black}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{ \magenta \alpha \black + \blue \beta \black}{2} \right)}\)
\(\displaystyle{ 2 \sin\left( \frac{\magenta x \black -\left( \blue x+ \frac{ \pi }{2} \black \right)}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{\magenta x \black +\left( \blue x+ \frac{ \pi }{2} \black \right)}{2} \right) = 1 \\ 2 \sin \left( - \frac{ \pi }{4} \right) \cdot \cos\left( x+ \frac{ \pi }{4} \right) = 1 \\ \cos\left(x+ \frac{ \pi }{4} \right) = - \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ x+\frac{ \pi }{4} = \pi - \frac{\pi}{4} +2k \pi \ \ \ \mbox{lub} \ \ \ x+\frac{ \pi }{4} = \pi + \frac{\pi}{4} +2k \pi \\ x= \frac{ \pi }{2} +2k \pi \ \ \ \mbox{lub} \ \ \ x= \pi +2k \pi}\)
Pierwsze nie należy do dziedziny, więc zostaje \(\displaystyle{ x= \pi +2k \pi}\). Jeszcze zostało wcześniejsze \(\displaystyle{ \sin x=0}\), z tego mamy \(\displaystyle{ x=k \pi}\). Zatem ostatecznie \(\displaystyle{ x=k \pi}\).