Równania trygonometryczne

[Victor]

Rozwiąż równania:
1.) sin3x + cos3x = \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)

2.) sinx + \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)cosx = 1

3.) sinx + sin2x = sin3x

4.) cosx = sin2x + cos3x

5.) sin5x + sin3x = sin4x


Oprócz rozwiązań, prosze o napisanie mi metody rozwiązywania takich równań, jakieś wskazówkim, bo niestety nie wiem jak sobie z nimi poradzić

[Calasilyar]

2.
\(\displaystyle{ sinx + \sqrt{3}cosx = 1\\
\frac{1}{2}sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosx=\frac{1}{2}\\
cos{\frac{\pi}{3}}sin{x}+sin{\frac{\pi}{3}}cos{x}=\frac{1}{2}\\
sin{(\frac{\pi}{3}+x)}=\frac{1}{2}}\)
i teraz już standard

[Kocurka]

te trzy ostatnie rozwiazujesz w podobny sposob.

\(\displaystyle{ 3) \\ sinx + sin2x = sin3x \\
sin3x - sinx -sin2x = 0 \\
2 sin \frac{3x-x}{2} cos \frac{3x +x}{2} - sin2x =0\\
2sinxcos2x -sin2x= 0\\
2sinxcos2x - 2sinxcosx=0\\
2sinx(cos2x - cosx) =0\\

2sinx = 0 cos2x-cosx=0}\)

\(\displaystyle{ 4) \\cosx = sin2x + cos3x\\
sin2x +cos3x -cosx = 0\\
sin2x -2sin \frac{3x+x}{2} sin \frac{3x -x}{2} =0\\
sin2x - 2sin2xsinx=0\\
sin2x(1 - 2sinx) =0\\

sin2x = 0 2cosx-1=0}\)

\(\displaystyle{ 5) \\ sin5x + sin3x - sin4x = 0\\
2 sin \frac{5x+3x}{2} cos \frac{5x-3x}{2} - sin4x =0\\
2sin4xcosx - sin4x =0\\
sin4x(2cosx-1)=0\\

sin4x=0 2cosx-1=0}\)


prosiles o wskazowki, wiec w tych trzech ostatnich skorzystaj ze wzorów na sumy i roznice funkcji trygonometrycznych. sprobuj odopowiednio pogrupowac, zamienic (wlasnie z tych wzorow) i wyciagnac przed nawias. jakby co to pytaj =] zaraz sprobuje cos z tamtymi zrobic =]

[ Dodano: 4 Marzec 2007, 17:38 ]
\(\displaystyle{ 1) sin3x + cos3x = \sqrt{2}

Robisz uklad rownan\\

ft\{\begin{array}{l}sin3x+cos3x=\sqrt{2}\\sin^{2}3x+cos^{2}3x=1\end{array} \\

ft\{\begin{array}{l}sin3x =\sqrt{2} - cos3x\\sin^{2}3x+cos^{2}3x=1\end{array}\\


(\sqrt{2} - cos3x)^{2} + cos^{2}3x = 1}\)

otrzymujesz takie dzialanie (za cos3x mozesz zrobic podstawienie i obliczyc) =]
drugie mozesz zrobic tym samym sposobem =]

[Victor]

W 1. podstawienie nic nie daje bo pierwiastka z delty nieda się wyliczyć.
W 2. i teraz już standart (tu się uśmiałem ) standart czyli co?
W 3. mam poprostu (w pierwszym przypadku) podzielić przez 2 i wyjdzie że sin(x)=0 i z tego x=0, a co w drugim przypadku?

[Calasilyar]

standart czyli co?

standard, czyli:
\(\displaystyle{ sin{(\frac{\pi}{3}+x)}=sin{\frac{\pi}{6}}\\
\frac{\pi}{3}+x=\frac{\pi}{6}}+2k\pi \;\vee\; \frac{\pi}{3}+x=\pi - \frac{\pi}{6}}+2k\pi\\
x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi \;\vee\; x=\frac{\pi}{2}+2k\pi}\)

W 3. mam poprostu (w pierwszym przypadku) podzielić przez 2 i wyjdzie że sin(x)=0 i z tego x=0, a co w drugim przypadku?

\(\displaystyle{ cos2x=cos^{2}x-sin^{2}x=cos^{2}-(1-cos^{2}x)=2cos^{2}x-1}\) , podstawiasz zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t=cosx\; t\in }\) i zostaje zrobić kwadratowe.

W 1. podstawienie nic nie daje bo pierwiastka z delty nieda się wyliczyć.

\(\displaystyle{ sinx+cosx=\sqrt{2}sin{(\frac{\pi}{4}+x)}}\)
łatwiej?

[Victor]

Narazie 3 i 4 kumam

[Calasilyar]

a z resztą w czym problem?

[Victor]

Jeżeli z sin4x=0 wynika x=0 , to 5 też już kumam

[Calasilyar]

Jeżeli z sin4x=0 wynika x=0

niezupełnie...

\(\displaystyle{ sin4x=0\
4x=k\pi\\
x=\frac{1}{4}k\pi,\;\; k\in \mathbb{C}}\)

[Victor]

A ja podstawiłem t=4x, wtedy sint=0, z tego mamy że t=0, więc 0=4x, dzielimy przez 4, i mamy x=0, gdzie mam błąd w rozumowaniu?

[Calasilyar]

gdzie mam błąd w rozumowaniu?

bo z tego, że sint=0 nie wynika wcale, że t=0, tylko że \(\displaystyle{ t=k\pi,\;k\in\mathbb{C}}\), bo rozpatrujemy całą serię rozwiązań, a nie tylko jakieś tam sobie wybrane rozwiązanie.

[Victor]

Aha no oki, a co z 1 i 2 ?
W 2. nie wiem jak dokonałeś tamtego przekształcenia:

2.
\(\displaystyle{ sin{\frac{\pi}{3}+x}=\frac{1}{2}}\)

[Calasilyar]

1) podałem ci wzór, który, jak myślę, załatwia sprawę
\(\displaystyle{ sin3x+cos3x=\sqrt{2}sin{(3x+\frac{\pi}{4})}}\)
2) Mój błąd, tam powinno być \(\displaystyle{ sin{(\frac{\pi}{3}+x)}=sin{\frac{\pi}{6}}}\).

[Victor]

Nadal nie łapię: jak wyciągnąłeś ten nawias w 2. tam gdzieś coś zniknął, nie wiem zresztą czemu

[ Dodano: 4 Marzec 2007, 22:08 ]

2.
\(\displaystyle{ cos{\frac{\pi}{3}}sin{x}+sin{\frac{\pi}{3}}cos{x}=\frac{1}{2}\\
sin{(\frac{\pi}{3}+x)}=\frac{1}{2}}\)
i teraz już standard

no ale gdzie tu znika ten cosinus, kiedy wyciągasz sinus przed nawias?

[ Dodano: 4 Marzec 2007, 22:10 ]
A w 1. to już zupełnie nie wiem skąd ten wzór wytrzasnąłeś. Ale za to 3,4 i 5 łapię w całości

Mimo, że jest to forum matematyczne, nie wyrzekamy się języka polskiego. Calasilyar

[Kocurka]

hmm jak dla mnie w 1 po podstawieniu wychodzi ladna delta i ladny w mire wynik

\(\displaystyle{ cos3x = t \\

(\sqrt{2} - t)^2 + t^{2} = 1 \\
2 - 2\sqrt{2}t + t^2 + t^2 =1 \\
2t^2-2\sqrt{2}t + 1=0 \\

\Delta = 8 - 8 =0 \\
t = \frac{2\sqrt{2}}{4} \\}\)