Nierówność i funkcja odwrotna.
-
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 30 sie 2012, o 18:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Nierówność i funkcja odwrotna.
Witam. Mam problem z dwoma zadaniami (właściwie w jednym chciałbym zapytać czy dobrze zrobione).
1.Rozwiązać nierówność
\(\displaystyle{ 2\sin \left( 2x \right) >-1 |:2}\)
\(\displaystyle{ \sin \left( 2x \right) >-\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{0}= \frac{ \pi }{6}}\)
\(\displaystyle{ 2x=-\frac{ \pi }{6} + 2k \pi \vee 2x= \pi + \frac{ \pi }{6} + 2k \pi}\)
\(\displaystyle{ x= -\frac{ \pi }{12} + 2k \pi \vee x= \frac{7}{12} \pi + 2k \pi, k \in C}\)
\(\displaystyle{ x \in \left( - \frac{ \pi }{12} + 2k \pi , \frac{7}{12} \pi + 2k \pi \right) , k \in C}\)
2. Uzasadnić, że \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją różnowartościową oraz wyznaczyć funkcję do niej odwrotną i podać jej dziedzinę.
\(\displaystyle{ f \left( x \right) = \sqrt{ \sin ^{2} \left( x \right) + 1 } , x \in \left( 0, \frac{ \pi }{2} \right) .}\)
1.Rozwiązać nierówność
\(\displaystyle{ 2\sin \left( 2x \right) >-1 |:2}\)
\(\displaystyle{ \sin \left( 2x \right) >-\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{0}= \frac{ \pi }{6}}\)
\(\displaystyle{ 2x=-\frac{ \pi }{6} + 2k \pi \vee 2x= \pi + \frac{ \pi }{6} + 2k \pi}\)
\(\displaystyle{ x= -\frac{ \pi }{12} + 2k \pi \vee x= \frac{7}{12} \pi + 2k \pi, k \in C}\)
\(\displaystyle{ x \in \left( - \frac{ \pi }{12} + 2k \pi , \frac{7}{12} \pi + 2k \pi \right) , k \in C}\)
2. Uzasadnić, że \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją różnowartościową oraz wyznaczyć funkcję do niej odwrotną i podać jej dziedzinę.
\(\displaystyle{ f \left( x \right) = \sqrt{ \sin ^{2} \left( x \right) + 1 } , x \in \left( 0, \frac{ \pi }{2} \right) .}\)
Ostatnio zmieniony 31 sie 2012, o 00:28 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Skaluj nawiasy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Skaluj nawiasy.
-
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 30 sie 2012, o 18:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Nierówność i funkcja odwrotna.
2.
\(\displaystyle{ \sqrt{\sin ^{2}( x_{1} )+1} = \sqrt{\sin ^{2}( x_{2} )+1}}\)
\(\displaystyle{ \sin ( x_{1})+1 = \sin ( x_{2})+1}\)
\(\displaystyle{ \sin ( x_{1}) \neq \sin ( x_{2})}\)
Czyli funkcja jest różnowartościowa.
Funkcja odwrotna :
\(\displaystyle{ y= \sqrt{\sin ^{2}(x)+1}}\)
\(\displaystyle{ y= \sin (x)+1}\)
\(\displaystyle{ x= \sin (y)+1}\)
\(\displaystyle{ \sin (y)=1-x}\)
No i właśnie co dalej w tym miejscu ?
\(\displaystyle{ \sqrt{\sin ^{2}( x_{1} )+1} = \sqrt{\sin ^{2}( x_{2} )+1}}\)
\(\displaystyle{ \sin ( x_{1})+1 = \sin ( x_{2})+1}\)
\(\displaystyle{ \sin ( x_{1}) \neq \sin ( x_{2})}\)
Czyli funkcja jest różnowartościowa.
Funkcja odwrotna :
\(\displaystyle{ y= \sqrt{\sin ^{2}(x)+1}}\)
\(\displaystyle{ y= \sin (x)+1}\)
\(\displaystyle{ x= \sin (y)+1}\)
\(\displaystyle{ \sin (y)=1-x}\)
No i właśnie co dalej w tym miejscu ?
Ostatnio zmieniony 31 sie 2012, o 00:28 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 30 sie 2012, o 18:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Nierówność i funkcja odwrotna.
1)
//poprawka
\(\displaystyle{ x \in \left( - \frac{ \pi }{6} + k\pi , \frac{7}{12} + k\pi \right) , k \in C}\)
2)
\(\displaystyle{ \sqrt{ \sin ^{2} \left( x_{1} \right) } + \sqrt{1} = \sqrt{ \sin ^{2} \left( x_{2} \right) } + \sqrt{1}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ \sin ^{2} \left( x_{1} \right) } + 1 -1 = \sqrt{ \sin ^{2} \left( x_{2} \right) }}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ \sin ^{2} \left( x_{1} \right) } \neq \sqrt{ \sin ^{2} \left( x_{2} \right) }}\)
\(\displaystyle{ y= \sqrt{ \sin ^{2} \left( x \right) } + \sqrt{1}}\)
\(\displaystyle{ y= \sqrt{ \sin ^{2} \left( x \right) } + 1}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ \sin ^{2} \left( y \right) } = x - 1}\)
Teraz dobrze ? Jak to dalej ruszyć ?
//poprawka
\(\displaystyle{ x \in \left( - \frac{ \pi }{6} + k\pi , \frac{7}{12} + k\pi \right) , k \in C}\)
2)
\(\displaystyle{ \sqrt{ \sin ^{2} \left( x_{1} \right) } + \sqrt{1} = \sqrt{ \sin ^{2} \left( x_{2} \right) } + \sqrt{1}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ \sin ^{2} \left( x_{1} \right) } + 1 -1 = \sqrt{ \sin ^{2} \left( x_{2} \right) }}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ \sin ^{2} \left( x_{1} \right) } \neq \sqrt{ \sin ^{2} \left( x_{2} \right) }}\)
\(\displaystyle{ y= \sqrt{ \sin ^{2} \left( x \right) } + \sqrt{1}}\)
\(\displaystyle{ y= \sqrt{ \sin ^{2} \left( x \right) } + 1}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ \sin ^{2} \left( y \right) } = x - 1}\)
Teraz dobrze ? Jak to dalej ruszyć ?
Ostatnio zmieniony 31 sie 2012, o 00:29 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Skaluj nawiasy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Skaluj nawiasy.
- denatlu
- Użytkownik
- Posty: 524
- Rejestracja: 10 mar 2011, o 20:03
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 128 razy
- Pomógł: 14 razy
Nierówność i funkcja odwrotna.
Pomijając treść, to zapis w ogóle jest poprawny? Chodzi mi o to, że najpierw jest równanie a potem nagle sprzeczność. Można to tak? raczej nie.phoenix427 pisze: 2)
\(\displaystyle{ \sqrt{ sin^{2}( x_{1} ) } + \sqrt{1} = \sqrt{ sin^{2}( x_{2} ) } + \sqrt{1}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ sin^{2}( x_{1} ) } + 1 -1 = \sqrt{ sin^{2}( x_{2} ) }}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ sin^{2}( x_{1} ) } \neq \sqrt{ sin^{2}( x_{2} ) }}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 30 sie 2012, o 18:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Nierówność i funkcja odwrotna.
\(\displaystyle{ \sqrt{ \sin ^{2}( x_{1} ) + 1} \neq \sqrt{ \sin ^{2}( x_{2} ) + 1} | \cdot ()^{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin ^{2}( x_{1} ) + 1 - 1 \neq \sin ^{2}( x_{2} )}\)
\(\displaystyle{ \sin ^{2}( x_{1} ) \neq \sin ^{2}( x_{2} )}\)
\(\displaystyle{ y=\sqrt{ \sin ^{2}(x) + 1} | \cdot ()^{2}}\)
\(\displaystyle{ y^{2}= \sin ^{2}(x) + 1}\)
\(\displaystyle{ \sin ^{2}(y) = x^{2} - 1}\)
Teraz ok ?
\(\displaystyle{ \sin ^{2}( x_{1} ) + 1 - 1 \neq \sin ^{2}( x_{2} )}\)
\(\displaystyle{ \sin ^{2}( x_{1} ) \neq \sin ^{2}( x_{2} )}\)
\(\displaystyle{ y=\sqrt{ \sin ^{2}(x) + 1} | \cdot ()^{2}}\)
\(\displaystyle{ y^{2}= \sin ^{2}(x) + 1}\)
\(\displaystyle{ \sin ^{2}(y) = x^{2} - 1}\)
Teraz ok ?
Ostatnio zmieniony 31 sie 2012, o 00:30 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Symbol mnożenia to \cdot.
-
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 30 sie 2012, o 18:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Nierówność i funkcja odwrotna.
Chodzi o wyznaczenie funkcji odwrotnej, czyli trzeba zamienić \(\displaystyle{ y}\) z \(\displaystyle{ x}\). Ostatnia linijka to przerzucenie sinusa na lewą stronę a \(\displaystyle{ y}\) na prawą po czym pomnożenie przez \(\displaystyle{ -1}\) całości i zamiana \(\displaystyle{ y}\) z \(\displaystyle{ x}\).
Ostatnio zmieniony 31 sie 2012, o 19:01 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli.
Powód: Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli.
- Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
Nierówność i funkcja odwrotna.
Nie możesz sobie ot tak po prostu zamienić zmiennych. Ty masz wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\) w zależności od \(\displaystyle{ y}\). Wtedy dopiero sobie zamienisz zmienne.
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
Nierówność i funkcja odwrotna.
\(\displaystyle{ y^{2}= \sin ^{2}(x) + 1}\)
\(\displaystyle{ \sin^2x=y^2-1}\), ale sinus w naszym przedziale jest dodatni, więc pierwiastkujemy bez modułu:
\(\displaystyle{ \sin x= \sqrt{y^2-1}}\).
Teraz obkładamy funkcją \(\displaystyle{ \arcsin}\):
\(\displaystyle{ x=\arcsin \sqrt{y^2-1}}\)
i dopiero teraz zamieniamy zmienne z \(\displaystyle{ x}\) na \(\displaystyle{ y}\). Wobec tego \(\displaystyle{ f^{-1}(x)=\arcsin \sqrt{x^2-1}}\).
\(\displaystyle{ \sin^2x=y^2-1}\), ale sinus w naszym przedziale jest dodatni, więc pierwiastkujemy bez modułu:
\(\displaystyle{ \sin x= \sqrt{y^2-1}}\).
Teraz obkładamy funkcją \(\displaystyle{ \arcsin}\):
\(\displaystyle{ x=\arcsin \sqrt{y^2-1}}\)
i dopiero teraz zamieniamy zmienne z \(\displaystyle{ x}\) na \(\displaystyle{ y}\). Wobec tego \(\displaystyle{ f^{-1}(x)=\arcsin \sqrt{x^2-1}}\).