Nierówność i funkcja odwrotna.

[phoenix427]

Witam. Mam problem z dwoma zadaniami (właściwie w jednym chciałbym zapytać czy dobrze zrobione).
1.Rozwiązać nierówność
\(\displaystyle{ 2\sin \left( 2x \right) >-1 |:2}\)
\(\displaystyle{ \sin \left( 2x \right) >-\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{0}= \frac{ \pi }{6}}\)
\(\displaystyle{ 2x=-\frac{ \pi }{6} + 2k \pi \vee 2x= \pi + \frac{ \pi }{6} + 2k \pi}\)
\(\displaystyle{ x= -\frac{ \pi }{12} + 2k \pi \vee x= \frac{7}{12} \pi + 2k \pi, k \in C}\)
\(\displaystyle{ x \in \left( - \frac{ \pi }{12} + 2k \pi , \frac{7}{12} \pi + 2k \pi \right) , k \in C}\)

2. Uzasadnić, że \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją różnowartościową oraz wyznaczyć funkcję do niej odwrotną i podać jej dziedzinę.
\(\displaystyle{ f \left( x \right) = \sqrt{ \sin ^{2} \left( x \right) + 1 } , x \in \left( 0, \frac{ \pi }{2} \right) .}\)

[miodzio1988]

2. Od razu z definicji jedziesz

[phoenix427]

2.
\(\displaystyle{ \sqrt{\sin ^{2}( x_{1} )+1} = \sqrt{\sin ^{2}( x_{2} )+1}}\)
\(\displaystyle{ \sin ( x_{1})+1 = \sin ( x_{2})+1}\)
\(\displaystyle{ \sin ( x_{1}) \neq \sin ( x_{2})}\)
Czyli funkcja jest różnowartościowa.
Funkcja odwrotna :
\(\displaystyle{ y= \sqrt{\sin ^{2}(x)+1}}\)
\(\displaystyle{ y= \sin (x)+1}\)
\(\displaystyle{ x= \sin (y)+1}\)
\(\displaystyle{ \sin (y)=1-x}\)
No i właśnie co dalej w tym miejscu ?

[miodzio1988]

A ten kwadrat Ci jak zniknął? Druga linijka

[piasek101]

1) Okres (na końcu) nie taki.

[phoenix427]

1)
//poprawka
\(\displaystyle{ x \in \left( - \frac{ \pi }{6} + k\pi , \frac{7}{12} + k\pi \right) , k \in C}\)

2)
\(\displaystyle{ \sqrt{ \sin ^{2} \left( x_{1} \right) } + \sqrt{1} = \sqrt{ \sin ^{2} \left( x_{2} \right) } + \sqrt{1}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ \sin ^{2} \left( x_{1} \right) } + 1 -1 = \sqrt{ \sin ^{2} \left( x_{2} \right) }}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ \sin ^{2} \left( x_{1} \right) } \neq \sqrt{ \sin ^{2} \left( x_{2} \right) }}\)

\(\displaystyle{ y= \sqrt{ \sin ^{2} \left( x \right) } + \sqrt{1}}\)
\(\displaystyle{ y= \sqrt{ \sin ^{2} \left( x \right) } + 1}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ \sin ^{2} \left( y \right) } = x - 1}\)

Teraz dobrze ? Jak to dalej ruszyć ?

[miodzio1988]

Pierwiastek z sumy to nie suma pierwiastków

[piasek101]

1) Teraz całkiem popsułeś.
Pisałem ,,na końcu" - nie podzieliłeś okresu przez dwa.

[denatlu]

2)
\(\displaystyle{ \sqrt{ sin^{2}( x_{1} ) } + \sqrt{1} = \sqrt{ sin^{2}( x_{2} ) } + \sqrt{1}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ sin^{2}( x_{1} ) } + 1 -1 = \sqrt{ sin^{2}( x_{2} ) }}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ sin^{2}( x_{1} ) } \neq \sqrt{ sin^{2}( x_{2} ) }}\)

Pomijając treść, to zapis w ogóle jest poprawny? Chodzi mi o to, że najpierw jest równanie a potem nagle sprzeczność. Można to tak? raczej nie.

[phoenix427]

\(\displaystyle{ \sqrt{ \sin ^{2}( x_{1} ) + 1} \neq \sqrt{ \sin ^{2}( x_{2} ) + 1} | \cdot ()^{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin ^{2}( x_{1} ) + 1 - 1 \neq \sin ^{2}( x_{2} )}\)
\(\displaystyle{ \sin ^{2}( x_{1} ) \neq \sin ^{2}( x_{2} )}\)

\(\displaystyle{ y=\sqrt{ \sin ^{2}(x) + 1} | \cdot ()^{2}}\)
\(\displaystyle{ y^{2}= \sin ^{2}(x) + 1}\)
\(\displaystyle{ \sin ^{2}(y) = x^{2} - 1}\)

Teraz ok ?

[Ponewor]

co?? do przedostatniej linijki dobrze. Ostatniego przejścia nie ogarniam

[phoenix427]

Chodzi o wyznaczenie funkcji odwrotnej, czyli trzeba zamienić \(\displaystyle{ y}\) z \(\displaystyle{ x}\). Ostatnia linijka to przerzucenie sinusa na lewą stronę a \(\displaystyle{ y}\) na prawą po czym pomnożenie przez \(\displaystyle{ -1}\) całości i zamiana \(\displaystyle{ y}\) z \(\displaystyle{ x}\).

[Ponewor]

Nie możesz sobie ot tak po prostu zamienić zmiennych. Ty masz wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\) w zależności od \(\displaystyle{ y}\). Wtedy dopiero sobie zamienisz zmienne.

[Marcinek665]

\(\displaystyle{ y^{2}= \sin ^{2}(x) + 1}\)

\(\displaystyle{ \sin^2x=y^2-1}\), ale sinus w naszym przedziale jest dodatni, więc pierwiastkujemy bez modułu:

\(\displaystyle{ \sin x= \sqrt{y^2-1}}\).

Teraz obkładamy funkcją \(\displaystyle{ \arcsin}\):

\(\displaystyle{ x=\arcsin \sqrt{y^2-1}}\)

i dopiero teraz zamieniamy zmienne z \(\displaystyle{ x}\) na \(\displaystyle{ y}\). Wobec tego \(\displaystyle{ f^{-1}(x)=\arcsin \sqrt{x^2-1}}\).