nierówność trygonometryczna

[rochaj]

pokaz ze \(\displaystyle{ \sin\frac{\pi }{28}\tan\frac{\pi }{28}> (\frac{\pi }{28})^{2}}\)

[zidan3]

\(\displaystyle{ \tan x>x \ \ \mbox{dla} \ x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)}\)
/edit Nie wiem czy edytowałeś czy to ja nie zauważyłem tego sinusa na początku. Teraz powyższe raczej mało daje.

[Lorek]

Trochę brute-force:
Niech \(\displaystyle{ f(x)=\sin x\tg x-x^2,\ x\in(0,1)}\). Wtedy \(\displaystyle{ f'(x)=\sin x+\frac{\tg x}{\cos x}-2x>\sin x+\tg x-2x}\). Niech teraz \(\displaystyle{ g(x)=\sin x+\tg x-2x,\ x\in(0,1)}\), wtedy \(\displaystyle{ g'(x)=\cos x+\frac{1}{\cos^2 x}-2>\cos x+\frac{1}{\cos x}-2>0}\), czyli \(\displaystyle{ g}\) jest ściśle rosnąca na \(\displaystyle{ (0,1),\ \lim_{x\to 0+}g(x)=0}\), zusammen daje to \(\displaystyle{ g(x)>0}\). Teraz mamy \(\displaystyle{ f'(x)>g(x)>0}\), robimy to samo i mamy \(\displaystyle{ f(x)>0}\).