suma odwrotności

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ \frac{1}{\cos (6^\circ)} + \frac{1}{\sin (24^\circ)}+ \frac{1}{\sin (48^\circ)}= \frac{1}{\sin (12^\circ)}}\)

Udowodnić powyższą tożsamość;
zaproponowac dwie różne metody dowodu:
a) używając liczb zespolonych
b) klasycznie (poprzez wzory trygonometrii)

[Premislav]

b)

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ L= \frac{1}{\cos6^{\circ}}+ \frac{1}{\sin24 ^{\circ}}+ \frac{1}{\sin48 ^{\circ}}=
\frac{8 \cdot \sin6 ^{\circ} \cdot \cos12 ^{\circ} \cdot \cos24 ^{\circ}+2 \cdot \cos24 ^{\circ} +1 }{4 \cdot \sin12 ^{\circ} \cdot \cos12 ^{\circ} \cdot \cos24 ^{\circ} }=\frac{8 \cdot \cos84 ^{\circ} \cdot \cos12 ^{\circ} \cdot \sin66 ^{\circ}+2 \cdot \cos24 ^{\circ} +1 }{4 \cdot \sin12 ^{\circ} \cdot \cos12 ^{\circ} \cdot \cos24 ^{\circ}}=\frac{4 \cdot \cos12 ^{\circ} \cdot ( \sin30 ^{\circ} -\sin18 ^{\circ}) +2 \cdot \cos24 ^{\circ} +1 }{4 \cdot \sin12 ^{\circ} \cdot \cos12 ^{\circ} \cdot \cos24 ^{\circ}}= \frac{2\cdot \cos12 ^{\circ} -4\cdot \cos12 ^{\circ} \cdot \sin18 ^{\circ} +2 \cdot \cos24 ^{\circ} +1 }{4 \cdot \sin12 ^{\circ} \cdot \cos12 ^{\circ} \cdot \cos24 ^{\circ} }=\frac{2\cdot \cos12 ^{\circ} -2\cdot \sin6 ^{\circ} +2 \cdot \cos24 ^{\circ} }{4 \cdot \sin12 ^{\circ} \cdot \cos12 ^{\circ} \cdot \cos24 ^{\circ} }=\frac{\cos12 ^{\circ} - \sin6 ^{\circ} + \cos24 ^{\circ} }{2 \cdot \sin12 ^{\circ} \cdot \cos12 ^{\circ} \cdot \cos24 ^{\circ} }=\frac{\cos12 ^{\circ} - \sin6 ^{\circ} + \sin66 ^{\circ} }{2 \cdot \sin12 ^{\circ} \cdot \cos12 ^{\circ} \cdot \cos24 ^{\circ} }=\frac{\cos12 ^{\circ} +\cos36 ^{\circ} }{2 \cdot \sin12 ^{\circ} \cdot \cos12 ^{\circ} \cdot \cos24 ^{\circ} }=\frac{2 \cdot \cos12 ^{\circ} \cdot \cos24 ^{\circ} }{2 \cdot \sin12 ^{\circ} \cdot \cos12 ^{\circ} \cdot \cos24 ^{\circ} }= \frac{1}{\sin12 ^{\circ} }=P}\)
q.e.d.
Krótko mówiąc, po ok. godzinie namysłu, przy braku innego pomysłu na rozwiązanie elementarne, maksymalnie spałowałem używając wzorów na sinus podwojonego kąta, różnicę sinusów, sumę sinusów i sumę cosinusów. Chętnie zobaczę bardziej "twórcze" rozwiązanie.