wyznaczyć wszystkie liczby całkowite n spełniające równanie

[kejkun7]

Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite \(\displaystyle{ n}\), dla których równanie \(\displaystyle{ 2 \sin nx = \tg x + \ctg x}\) ma
rozwiązania w liczbach rzeczywistych \(\displaystyle{ x}\).

[mol_ksiazkowy]

Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite

wsk

\(\displaystyle{ |\tg (x) + \ctg (x)| \geq 2}\)

[kejkun7]

Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite

wsk

\(\displaystyle{ |tg (x) + ctg(x)| \geq 2}\)

a nie przypadkiem :
\(\displaystyle{ | \tg (x) + \ctg(x)| \le 2}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \tg (x) + \ctg(x) \le 2 \\ \vee \tg (x) + \ctg(x) \ge - 2}\)

bo \(\displaystyle{ 2 \sin}\)
przyjmie wartość od \(\displaystyle{ -2}\) do \(\displaystyle{ 2}\) ?

[Przemo10]

Korzystasz z nierówności:
\(\displaystyle{ \left| a\right| + \frac{1}{\left| a\right| } \ge 2; a=\tan x}\)
Natomiast \(\displaystyle{ -2\le 2\sin nx \le 2}\)
Stąd po rozwiązaniu nierówności:
\(\displaystyle{ \tg x +\ctg x \ge 2 \vee \tg x +\ctg x \le -2}\)

[kejkun7]

hmm no tak, a czy mój sposób jest zły ?
skoro \(\displaystyle{ 2 \ \cdot \ \sin x}\) jest
to jego wartość będzie się wachała między \(\displaystyle{ -2}\) , a \(\displaystyle{ 2}\).
zatem , aby zaistniała równość, musi zachodzić również :

\(\displaystyle{ | \tg x + \ctg x | \le 2}\)
a zarazem z Waszego warunku:\(\displaystyle{ | \tg x + \ctg x | \ge 2}\)
czyli hmm razem te warunki dają, że suma tych wyrażeń osiąga \(\displaystyle{ 2}\) czy też może jeszcze \(\displaystyle{ -2}\) ? i nic ponadto ?

czyli \(\displaystyle{ | \tg x + \ctg x | = 2}\)
musi być , zatem i \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ -2}\)

czyli
\(\displaystyle{ \sin nx = 1 \\ \vee \sin n x = - 1}\)

tak ?

zatem :
\(\displaystyle{ \sin nx = 1 \Leftrightarrow nx \in ( \ \frac { \pi } { 2 } \ + 2\ \cdot \ k \pi
\\ , k \in C
\\


\vee \sin n x = - 1 \Leftrightarrow nx \in ( \ \frac { 3 \pi } { 2 } \ + 2\ \cdot \ k \pi
\\ , k \in C}\)

to teraz jeszcze jakie te n. ?
trochę się gubię , bo jest i \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ x}\)

[mol_ksiazkowy]

to teraz jeszcze jakie te n. ?

\(\displaystyle{ |a+\frac{1}{a}| \geq 2}\) oraz \(\displaystyle{ |a+\frac{1}{a}| = 2}\) tylko gdy
\(\displaystyle{ a= \pm 1}\)

[Przemo10]

hmm no tak, a czy mój sposób jest zły
\(\displaystyle{ | \tg x + \ctg x | \le 2}\)?

Twój warunek jest zły . Weź sobie np. kąt \(\displaystyle{ \alpha =30^0 \Rightarrow \sin \alpha = \frac{1}{2}; \tg 30+ \ctg30= \frac{ \sqrt{3}}{3}+ \sqrt{3}>2}\)
To już powoduje, że dalszy twój tok rozumowania jest błędny

-- 14 sie 2012, o 15:40 --

to teraz jeszcze jakie te n. ?
trochę się gubię , bo jest i i

Dostajesz na końcu układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}\l\sin nx = \pm 1 m \in C \\\tg x= \pm 1 ; k \in C\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} nx= \frac { \pi } { 2 } \ + \ m \pi; m \in C\\ x= \frac { \pi } { 4 } \ + \ \frac{k \pi}{2}; k \in C\end{cases} \\
\Leftrightarrow n\left( \frac { \pi } { 4 } \ + \frac{m \pi}{2}\right) = \frac{ \pi}{ 2 } \ + \ k \pi \Leftrightarrow n=2\left( \frac{2k+1}{2m+1} \right)=2\left( 2t+1\right)=4t+
2;t \in C}\)

[Lorek]

Dostajesz na końcu układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}\l\sin nx = \pm 1 \\\tg x= \pm 1 ; k \in C\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} nx= \frac { \pi } { 2 } \ + \ k \pi; k \in C\\ x= \frac { \pi } { 4 } \ + \ \frac{k \pi}{2}; k \in C\end{cases}
\Leftrightarrow n\left( \frac { \pi } { 4 } \ + \frac{k \pi}{2}\right) = \frac{ \pi}{ 2 } \ + \ k \pi \\ \Leftrightarrow n=2}\)

Tyle, że te \(\displaystyle{ k}\) dla poszczególnych równań mogą być różne to raz, a dwa zbiory rozwiązań \(\displaystyle{ \sin nx=\pm 1}\) i \(\displaystyle{ \tg x=\pm 1}\) nie muszą być takie same, wystarczy, że ich część wspólna będzie niepusta (np. dla \(\displaystyle{ n=10}\) też są rozwiązania).

[kejkun7]

Dostajesz na końcu układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}\l\sin nx = \pm 1 m \in C \\\tg x= \pm 1 ; k \in C\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} nx= \frac { \pi } { 2 } \ + \ m \pi; m \in C\\ x= \frac { \pi } { 4 } \ + \ \frac{k \pi}{2}; k \in C\end{cases} \\
\Leftrightarrow n\left( \frac { \pi } { 4 } \ + \frac{k \pi}{2}\right) = \frac{ \pi}{ 2 } \ + \ m \pi \Leftrightarrow n=}\)

a nie tak ?
a ostatnia równość skąd się wzięła hm ?
w sensie ta tutaj co nie dopisałem ?

[Przemo10]

\(\displaystyle{ n\left( \frac { \pi } { 4 } \ + \frac{k \pi}{2}\right) = \frac{ \pi}{ 2 } \ + \ m \pi \Leftrightarrow
\frac{\pi}{4} \cdot n\left( 1+2k\right)= \frac{\pi}{2} \left( 2m+1\right) \\ \Leftrightarrow n\left( 1+2k\right)= 2\left( 2m+1\right)\Leftrightarrow n =2\left( \frac{2k+1}{2m+1} \right)=2\left( 2t+1\right)=4t+ 2;t \in C}\)

Ostatnie przejście jest stąd, że jak podzielisz dwie nieparzyste podzielne przez siebie liczby to otrzymasz liczbę nieparzystą. Jeśli wątpisz, że wszystkie liczby nieparzyste mogą być \(\displaystyle{ \frac{2k+1}{2m+1}}\), dla dowolnych całkowitych \(\displaystyle{ m,n}\), to przyjmij, że \(\displaystyle{ m=0}\)

[Lorek]

Czyli \(\displaystyle{ n=6}\) spełnia? Bo moim zdaniem nie bardzo. A ten warunek:
\(\displaystyle{ \begin{cases}\l\sin nx = \pm 1 \\\tg x= \pm 1 \end{cases}}\)
to powinien być zapisany tak
\(\displaystyle{ \begin{cases}\l\sin nx = 1 \\\tg x= 1 \end{cases}\quad\vee\quad \begin{cases}\l\sin nx = - 1 \\\tg x= - 1\end{cases}}\)
bo znaków przy \(\displaystyle{ 1}\) nie możemy sobie dobierać jak chcemy (z obu i tak dostaniemy to samo rozwiązanie, ale to już szczegół).

[Przemo10]

Lorek masz rację. Wyszło by wtedy po podstawieniu , np. \(\displaystyle{ 2=0}\). W dodatku z pierwszych nierówności powinno być to zauważone od razu, że \(\displaystyle{ \sin nx= \tg x}\)

korekta:    

\(\displaystyle{ \begin{cases}\l\sin nx = 1 \\\tg x= 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} nx= \frac { \pi } { 2 } \ + 2\ m \pi; m \in C\\ x= \frac { \pi } { 4 } \ + k\pi}; k \in C\end{cases}}\)

Stąd
\(\displaystyle{ n =2\left( \frac{4k+1}{4m+1} \right)=2\left( 4t+1\right)=8t+ 2;t \in C}\)

Z drugiego warunku

\(\displaystyle{ \begin{cases}\l\sin nx =-1 \\\tg x=-1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} nx= \frac { -\pi } { 2 } \ + 2\ m \pi; m \in C\\ x= \frac { -\pi } { 4 } \ + k\pi}; k \in C\end{cases}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ n =2\left( \frac{4k-1}{4m-1} \right)=-2\left( 4t-1\right)=-8t+ 2;t \in C}\)
Minus w tym przypadku nic nie zmienia, więc są to liczby postaci \(\displaystyle{ 8t+2}\)

Dzięki za poprawienie

[kejkun7]

\(\displaystyle{ =\\ \Leftrightarrow n\left( 1+2k\right)= 2\left( 2m+1\right)\Leftrightarrow n =2\left( \frac{2k+1}{2m+1} \right)=2\left( 2t+1\right)=4t+ 2;t \in C}\)

tutaj też mi się wydaję, że to powinno być odwrotnie:
\(\displaystyle{ \frac{2m+1}{2k+1}}\)
i chyba ten sam błąd w ostatnim poście, ale nie jestem pewien, sprawdź.
ale i tak w ogóle nie zmienia to reszty : P .

dzięki wszystkim za pomoc : )