kłopotliwy cosinus.

[tomekcooler]

Witam!
Mam problem z zadaniem. Rozwiazalem je, ale odpowiedz jest inna niz w odpowiedziach zawartych w ksiazce. powiedzcie, prosze, gdzie robie blad.

tresc zadania: rozwiaz nierownosc \(\displaystyle{ cos^{2}\frac{x}{2} qslant 1}\)
wiec zakladam sobie, ze \(\displaystyle{ cos\frac{x}{2} = t t }\) Otrzymuje nierownosc kwadratowa postaci: \(\displaystyle{ t^{2}-1\geqslant 0}\). Z tego wynika, ze \(\displaystyle{ t\in (-\infty; -1> \cup )}\). Ale, ze \(\displaystyle{ t }\) to \(\displaystyle{ t=-1 t=1}\). Podstawiam za \(\displaystyle{ t=cos\frac{x}{2}}\) i otrzymuje: \(\displaystyle{ cos\frac{x}{2}=-1 cos\frac{x}{2}=1}\). Dalej zakladam, ze \(\displaystyle{ \frac{x}{2}=m m\in R}\). Z tego otrzymuje pierwiastki \(\displaystyle{ m=2k\pi m=\pi+2k\pi}\). Dalej podstawiam za \(\displaystyle{ m=\frac{x}{2}}\) i kolejno otrzymuje \(\displaystyle{ x=4k\pi x=2\pi +4k\pi k\in C}\).

A w odpowiedziach jest, ze \(\displaystyle{ x=2k\pi}\). I nie wiem gdzie popelniam blad...

[luka52]

\(\displaystyle{ \cos^2 {\frac{x}{2}} q 1}\)
Ze względu na wartości jakie przyjmuje funkcja cosinus wystarczy rozwiązać:
\(\displaystyle{ \cos^2 {\frac{x}{2}} = 1 \iff \cos \frac{x}{2} = 1 \;\;lub \cos \frac{x}{2} = -1}\)
Teraz wyjdzie, że
\(\displaystyle{ x = 2k\pi}\)

[ Dodano: 1 Marzec 2007, 22:01 ]
\(\displaystyle{ \cos{\frac{x}{2}} = 1 \cos{\frac{x}{2}} = \cos{2 k \pi} x = 4k \pi\\
\cos{\frac{x}{2}} = -1 \cos{\frac{x}{2}} = \cos{k \pi} x = 2\pi + 4k\pi}\)
Czyli
\(\displaystyle{ x = 2k \pi}\)

[mat1989]

znaczy się funkcja cosinus, czyli także cosinus kwadrat nie może przyjmować wartości większych od 1, więc starczy z nierówności zrobić równanie.

[luka52]

i kolejno otrzymuje \(\displaystyle{ x=4k\pi x=2\pi +4k\pi k\in C}\).

Z tego bezpośrednio wynika iż \(\displaystyle{ x = 2k \pi}\)