Wartośc stałych

[MalaMi717]

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)=a \cos (bx+c)}\) . Znaleźć wartość stałych \(\displaystyle{ a,b}\) i \(\displaystyle{ c}\), jeżeli \(\displaystyle{ f(x+1)-f(x) = \sin x}\)
Zaczęłam od przekształcenia lewej strony

\(\displaystyle{ f \left( x+1 \right) -f \left( x \right) = \sin x \\
a \cos \left( b \left( x+1 \right) +c \right) -a \cos \left( bx+c \right) = \sin x \\
a \cos \left( bx+b+c \right) -a \cos \left( bx+c \right) = \sin x \\
a \left[ \cos \left( bx+b+c \right) - \cos \left( bx+c \right) \right] = \sin x \\
a \left[ \sin \frac{ \left( bx+b+c \right) + \left( bx+c}{2}\sin \frac{ \left( bx+b+c \right) - \left( bx+c \right) }{2} \right] = \sin x \\
a \left[ \sin \frac{bx+2b+2c}{2}\sin \frac{b}{2} \right] = \sin x}\)

I teraz nie wiem co zrobić z tym wyrażeniem. Proszę o wszelkiego rodzaju podpowiedzi.

[Lorek]

Przed wszystkim to wzór na różnicę cosinusów zły. A jak już dobrze policzysz, to porównujesz czynniki stałe ze stałymi, a zmienne (te z \(\displaystyle{ x}\)-ami) ze zmiennymi.

[MalaMi717]

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)=a \cos (bx+c)}\) . Znaleźć wartość stałych \(\displaystyle{ a,b}\) i \(\displaystyle{ c}\), jeżeli \(\displaystyle{ f(x+1)-f(x) = \sin x}\)
Zaczęłam od przekształcenia lewej strony

\(\displaystyle{ f \left( x+1 \right) -f \left( x \right) = \sin x \\
a \cos \left( b \left( x+1 \right) +c \right) -a \cos \left( bx+c \right) = \sin x \\
a \cos \left( bx+b+c \right) -a \cos \left( bx+c \right) = \sin x \\
a \left[ \cos \left( bx+b+c \right) - \cos \left( bx+c \right) \right] = \sin x \\
a \left[ 2\sin \frac{ \left( bx+b+c) \right) + \left( bx+c}{2}\sin \frac{ \left( bx+b+c \right) - \left( bx+c \right) }{2} \right] = \sin x \\
2a \left[ \sin \frac{bx+2b+2c}{2}\sin \frac{b}{2} \right] = \sin x}\)

ok poprawiłam, jednak dalej nie wiem jak iloczyn \(\displaystyle{ \sin}\) mam porównać z samym \(\displaystyle{ \sin}\)

[Ponewor]

\(\displaystyle{ 2a \left[ \sin \frac{bx+2b+2c}{2}\sin \frac{b}{2} \right] = \sin x}\)

Zauważ, że \(\displaystyle{ \sin \frac{b}{2}}\) jest wartością stałą.

Czyli mamy:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2a\sin \frac{b}{2} = 1 \\ \\ \frac{bx+2b+2c}{2} = x + 2k \pi \wedge k \in \CC \end{cases}}\)

Z drugiego równania mamy od razu \(\displaystyle{ b=2}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2a\sin 1 = 1 \\ x + b + c = x + 2k \pi \wedge k \in \CC \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a= \frac{1}{2\sin 1} \\ b=2 \\ c = 2(k\pi - 1) \wedge k \in \CC \end{cases}}\)

Wynik wygląda podejrzanie, więc proszę o sprawdzenie.

[Lorek]

Ponewor, a czemu podejrzanie, bo jest wiele rozwiązań? Mi jedyne co się nie podoba, to oznaczenie \(\displaystyle{ \ \CC}\) jako całkowitych, ale co kto lubi (sam dawniej tak pisałem )

[Ponewor]

Że wiele rozwiązań to drobiazg tylko ten \(\displaystyle{ \sin 1}\) jakoś tak psuje estetykę wyniku (moim zdaniem). A właśnie nie mogę się odzwyczaić od tego \(\displaystyle{ \ \CC}\)