Równanie trygonometryczne

[otherer]

Witam. Rozwiązuję zadania ze zbioru kiełbasy i natrafiłem na jedno, które rozwiązałem, ale w odpowiedziach są inne.
Wzór równania: \(\displaystyle{ sin \alpha - cos \alpha +1 = sin \alpha cos \alpha}\)
Rozwiązuję w taki sposób:
Odejmują stronami jedynkę i dostaję:
\(\displaystyle{ sin \alpha - cos \alpha = sin \alpha cos \alpha - 1}\)
potęguję do kwadratu:
\(\displaystyle{ sin ^{2} \alpha - 2sin \alpha cos \alpha + cos^{2} \alpha = sin ^{2} \alpha cos ^{2} \alpha - 2sin \alpha cos \alpha + 1}\)
Odejmuję stronami 1 i dodaję \(\displaystyle{ 2sin \alpha cos \alpha}\) czyli zostaje mi:
\(\displaystyle{ sin ^{2} \alpha cos ^{2} \alpha=0}\)
wykorzystując jedynkę trygonometryczną wychodzi mi:
\(\displaystyle{ sin ^{2} \alpha (1- sin ^{2} \alpha)=0}\)
Czyli \(\displaystyle{ sin \alpha = 0 \vee sin \alpha = 1 \vee sin \alpha = -1}\)
Skąd wysunąłem wniosek, że:
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{k \pi }{2}}\)
Z tym, że odpowiedź jest taka:
\(\displaystyle{ \alpha =2k \pi \vee \alpha = \frac{3}{2} \pi + 2k \pi}\)
Ktoś wie gdzie zrobiłem błąd?
Z góry dziękuję z pomoc

[Tmkk]

\(\displaystyle{ sin \alpha - cos \alpha = sin \alpha cos \alpha - 1}\)
potęguję do kwadratu:
\(\displaystyle{ sin ^{2} \alpha - 2sin \alpha cos \alpha + cos^{2} \alpha = sin ^{2} \alpha cos ^{2} \alpha - 2sin \alpha cos \alpha + 1}\)

Weź jakieś rozwiązanie, które jest u Ciebie, a nie ma w odpowiedzi, np \(\displaystyle{ \alpha = \pi}\).

\(\displaystyle{ sin \pi - cos \pi = sin \pi cos \pi - 1\\
0 - (-1) = 0\cdot1 - 1\\
1 = -1}\)

Co jest nieprawdą. Ale jak podniesiesz do kwadratu, to masz:

\(\displaystyle{ (1)^2 = (-1)^2\\
1 = 1}\)

Widzisz już błąd?

[otherer]

Ok, chyba widzę. To jest ten sam rodzaj błędu co w przypadku dzielenia? Tylko, że tym razem dostaję kolejne rozwiązania, zamiast tracić?

[Tmkk]

Tutaj błąd polega na tym, że podnosząc do kwadratu liczbę niedodatnia, staje się ona liczbą nieujemną.

Jeżeli chciałbyś koniecznie podnieść do kwadratu, to możesz np przedziały zrobić. Oddzielnie, kiedy lewa i prawa strona jest dodatnia i kiedy niedodatnia.

Wydaje mi się jednak, że nie ma sensu się z takim czymś męczyć, bo te równanie można rozwiązać na wiele innych sposobów.

[octahedron]

\(\displaystyle{ \sin \alpha - \cos \alpha +1 = \sin \alpha \cos \alpha\\\\
\sin\alpha-\sin\alpha\cos\alpha+1-\cos\alpha=0\\\\
\sin\alpha\left( 1-\cos\alpha\right)+1-\cos\alpha=0\\\\
\left( 1+\sin\alpha\right)\left( 1-\cos\alpha\right)=0\\\\
\sin x=-1\quad\vee\quad\cos x=1\\\\
x=\frac{3}{2}\pi+2k\pi\quad\vee\quad x=2k\pi}\)