Równanie \(\displaystyle{ sin^{4}x + cos^{4}x = a}\) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy:
a) \(\displaystyle{ a\in }\)
b) \(\displaystyle{ a\in }\)
c) \(\displaystyle{ a\in }\)
która z tych odpowiedzi jest poprawna? oczywiscie bardziej zależy mi na tym zebym wiedziala w jaki sposob sie to rozwiazuje, wiec podajac odp wytlumaczcie dlaczego =] z gory dziekuje =]
równanie
-
wb
- Użytkownik
- Posty: 3507
- Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1260 razy
równanie
\(\displaystyle{ sin^4x+cos^4x=a \\ (sin^2x+cos^2x)^2-2sin^2xcos^2x=a \\ 1-2sin^2xcos^2x=a \\ 2sin^2xcos^2x=1-a /\cdot 2 \\ 4sin^2xcos^2x=2-2a \\ sin^22x=2-2a \\ sin^22x\in 2-2a\in \\ a\in }\)
-
luka52
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
równanie
\(\displaystyle{ \sin^4{x}+\cos^4{x} = (\sin^2{x} + \cos^2{x})^2 - 2\sin^2{x}\cos^2{x} =\\
= \frac{3}{4} + \frac{1}{4}(\sin^2{x} + \cos^2{x})^2 - \frac{1}{2}\sin^2{x}\cos^2{x} - \frac{3}{2}\sin^2{x}\cos^2{x} = \\
= \frac{3}{4} - \frac{3}{2}\sin^2{x}\cos^2{x} + \frac{\sin^4{x}}{4} + \frac{\cos^4{x}}{4} =\\
= \frac{1}{4}(3 + \cos{4x})}\)
Z tym, że trzeba wiedzieć iż:
\(\displaystyle{ \cos{4x} = \sin^4{x} + \cos^4{x} - 6 \sin^2{x} \cos^2{x} = 1 - 8 \sin^2{x} \cos^2{x}}\)
= \frac{3}{4} + \frac{1}{4}(\sin^2{x} + \cos^2{x})^2 - \frac{1}{2}\sin^2{x}\cos^2{x} - \frac{3}{2}\sin^2{x}\cos^2{x} = \\
= \frac{3}{4} - \frac{3}{2}\sin^2{x}\cos^2{x} + \frac{\sin^4{x}}{4} + \frac{\cos^4{x}}{4} =\\
= \frac{1}{4}(3 + \cos{4x})}\)
Z tym, że trzeba wiedzieć iż:
\(\displaystyle{ \cos{4x} = \sin^4{x} + \cos^4{x} - 6 \sin^2{x} \cos^2{x} = 1 - 8 \sin^2{x} \cos^2{x}}\)