równanie czwartego stopnia z sin i cos
-
- Użytkownik
- Posty: 58
- Rejestracja: 4 mar 2012, o 13:52
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 19 razy
równanie czwartego stopnia z sin i cos
Proszę o pomoc w rozwiązaniu równania:
\(\displaystyle{ \sin^{4}x+\cos^{4}x=1}\)
\(\displaystyle{ \sin^{4}x+\cos^{4}x=1}\)
- Althorion
- Użytkownik
- Posty: 4541
- Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 662 razy
równanie czwartego stopnia z sin i cos
\(\displaystyle{ \sin^{4}(x)+\cos^{4}(x)=1 \\
\left(\sin^2(x) + \cos^2(x)\right)^2 - 2\sin^2(x)\cos^2(x) = 1\\
1 - 2(\sin (x)\cos (x))^2 = 1 \\
2 \cdot \frac{1}{4}\sin^2(2x) = 0}\)
\left(\sin^2(x) + \cos^2(x)\right)^2 - 2\sin^2(x)\cos^2(x) = 1\\
1 - 2(\sin (x)\cos (x))^2 = 1 \\
2 \cdot \frac{1}{4}\sin^2(2x) = 0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 58
- Rejestracja: 4 mar 2012, o 13:52
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 19 razy
równanie czwartego stopnia z sin i cos
O co chodzi w tym ostatnim przejściu, bo nie bardzo je rozumiem
- rtuszyns
- Użytkownik
- Posty: 2042
- Rejestracja: 29 gru 2006, o 23:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zamość
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 229 razy
równanie czwartego stopnia z sin i cos
Może troszkę inne podejście:
\(\displaystyle{ \sin^4x+\cos^4x=1\\
\left(\sin^2x\right)^2+\cos^4x-1=0\\
\left(1-\cos^2x\right)^2+\cos^4x-1=0\\
1-2\cos^2x-\cos^4x-1+\cos^4x=0\\
-2\cos^2x=0\\
\cos^2x=0 \Leftrightarrow \cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2k\pi, k\in {\mathbb Z}}\)
\(\displaystyle{ \sin^4x+\cos^4x=1\\
\left(\sin^2x\right)^2+\cos^4x-1=0\\
\left(1-\cos^2x\right)^2+\cos^4x-1=0\\
1-2\cos^2x-\cos^4x-1+\cos^4x=0\\
-2\cos^2x=0\\
\cos^2x=0 \Leftrightarrow \cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2k\pi, k\in {\mathbb Z}}\)
- Althorion
- Użytkownik
- Posty: 4541
- Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 662 razy
równanie czwartego stopnia z sin i cos
Przerzucam jedynkę na drugą stronę i korzystam z faktu, że \(\displaystyle{ \sin(x)\cos(x) = \frac{1}{2} \sin(2x)}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 58
- Rejestracja: 4 mar 2012, o 13:52
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 19 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
równanie czwartego stopnia z sin i cos
Przemyśl to raz jeszcze.rtuszyns pisze:\(\displaystyle{ \left(1-\cos^2x\right)^2+\cos^4x-1=0\\
1-2\cos^2x-\cos^4x-1+\cos^4x=0}\)
Q.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
równanie czwartego stopnia z sin i cos
\(\displaystyle{ \sin^{4}{x}+\cos^{4}{x}=1\\
\sin^{4}{x}+\cos^{4}{x}-1=0\\
\sin^{4}{x}+\cos^{4}{x}-\left( \cos^{2}{x}+\sin^{2}{x}\right)^2=0\\
-2\cos^{2}{x}\sin^{2}{x}=0\\
\sin^{2}{ 2x }=0}\)
rtuszyns pomyliłeś znak przy podnoszeniu do kwadratu
\(\displaystyle{ \sin^{4}{x}+\cos^{4}{x}=1\\
\left( 1-\cos^{2}{x}\right)^2+\cos^{4}{x}=1\\
1-2\cos^{2}{x}+\cos^{4}{x}+\cos^{4}{x}=1\\
-2\cos^{2}{x}+2\cos^{4}{x}=0\\
2\cos^{2}{x}\left( \cos^{2}{x}-1\right)=0}\)
\sin^{4}{x}+\cos^{4}{x}-1=0\\
\sin^{4}{x}+\cos^{4}{x}-\left( \cos^{2}{x}+\sin^{2}{x}\right)^2=0\\
-2\cos^{2}{x}\sin^{2}{x}=0\\
\sin^{2}{ 2x }=0}\)
rtuszyns pomyliłeś znak przy podnoszeniu do kwadratu
\(\displaystyle{ \sin^{4}{x}+\cos^{4}{x}=1\\
\left( 1-\cos^{2}{x}\right)^2+\cos^{4}{x}=1\\
1-2\cos^{2}{x}+\cos^{4}{x}+\cos^{4}{x}=1\\
-2\cos^{2}{x}+2\cos^{4}{x}=0\\
2\cos^{2}{x}\left( \cos^{2}{x}-1\right)=0}\)
Ostatnio zmieniony 4 lip 2012, o 11:06 przez Mariusz M, łącznie zmieniany 1 raz.