równanie czwartego stopnia z sin i cos

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
anitusia1994
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 4 mar 2012, o 13:52
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 19 razy

równanie czwartego stopnia z sin i cos

Post autor: anitusia1994 »

Proszę o pomoc w rozwiązaniu równania:
\(\displaystyle{ \sin^{4}x+\cos^{4}x=1}\)
Awatar użytkownika
Althorion
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

równanie czwartego stopnia z sin i cos

Post autor: Althorion »

\(\displaystyle{ \sin^{4}(x)+\cos^{4}(x)=1 \\
\left(\sin^2(x) + \cos^2(x)\right)^2 - 2\sin^2(x)\cos^2(x) = 1\\
1 - 2(\sin (x)\cos (x))^2 = 1 \\
2 \cdot \frac{1}{4}\sin^2(2x) = 0}\)
anitusia1994
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 4 mar 2012, o 13:52
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 19 razy

równanie czwartego stopnia z sin i cos

Post autor: anitusia1994 »

O co chodzi w tym ostatnim przejściu, bo nie bardzo je rozumiem
Awatar użytkownika
rtuszyns
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2042
Rejestracja: 29 gru 2006, o 23:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 229 razy

równanie czwartego stopnia z sin i cos

Post autor: rtuszyns »

Może troszkę inne podejście:
\(\displaystyle{ \sin^4x+\cos^4x=1\\
\left(\sin^2x\right)^2+\cos^4x-1=0\\
\left(1-\cos^2x\right)^2+\cos^4x-1=0\\
1-2\cos^2x-\cos^4x-1+\cos^4x=0\\
-2\cos^2x=0\\
\cos^2x=0 \Leftrightarrow \cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2k\pi, k\in {\mathbb Z}}\)
Awatar użytkownika
Althorion
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

równanie czwartego stopnia z sin i cos

Post autor: Althorion »

Przerzucam jedynkę na drugą stronę i korzystam z faktu, że \(\displaystyle{ \sin(x)\cos(x) = \frac{1}{2} \sin(2x)}\).
anitusia1994
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 4 mar 2012, o 13:52
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 19 razy

równanie czwartego stopnia z sin i cos

Post autor: anitusia1994 »

Dziękuję za pomoc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

równanie czwartego stopnia z sin i cos

Post autor: »

rtuszyns pisze:\(\displaystyle{ \left(1-\cos^2x\right)^2+\cos^4x-1=0\\
1-2\cos^2x-\cos^4x-1+\cos^4x=0}\)
Przemyśl to raz jeszcze.

Q.
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

równanie czwartego stopnia z sin i cos

Post autor: Mariusz M »

\(\displaystyle{ \sin^{4}{x}+\cos^{4}{x}=1\\
\sin^{4}{x}+\cos^{4}{x}-1=0\\
\sin^{4}{x}+\cos^{4}{x}-\left( \cos^{2}{x}+\sin^{2}{x}\right)^2=0\\
-2\cos^{2}{x}\sin^{2}{x}=0\\
\sin^{2}{ 2x }=0}\)


rtuszyns pomyliłeś znak przy podnoszeniu do kwadratu

\(\displaystyle{ \sin^{4}{x}+\cos^{4}{x}=1\\
\left( 1-\cos^{2}{x}\right)^2+\cos^{4}{x}=1\\
1-2\cos^{2}{x}+\cos^{4}{x}+\cos^{4}{x}=1\\
-2\cos^{2}{x}+2\cos^{4}{x}=0\\
2\cos^{2}{x}\left( \cos^{2}{x}-1\right)=0}\)
Ostatnio zmieniony 4 lip 2012, o 11:06 przez Mariusz M, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
rtuszyns
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2042
Rejestracja: 29 gru 2006, o 23:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 229 razy

równanie czwartego stopnia z sin i cos

Post autor: rtuszyns »

Tak zgadza się. Przepraszam... Dzięki.
ODPOWIEDZ