równania inierówności +log

[Simong]

Jak to rozwiązać
m) sin3x = 2sinx
n) sin�x-4sin�x-2sinx +1>0
o) \(\displaystyle{ log_{sinx}cosx + log _{cosx} sinx=2}\)
r) \(\displaystyle{ log_{3}(3^{x}-8)>2-x}\)



Bardzo z góry dziękuję za każdy zrobiony przykładens

Bardzo prosze o szybką pomoc

[baksio]

o) \(\displaystyle{ sinx>0 \wedge sinx \neq 1 \wedge cosx>0 cosx 1}\)
\(\displaystyle{ log_{sinx}cosx + \frac{1}{log_{sinx}cosx} = 2}\)
\(\displaystyle{ log_{sinx}cosx=t}\)
\(\displaystyle{ t+\frac{1}{t}=2}\)
\(\displaystyle{ t^2-2t+1=0}\)
\(\displaystyle{ (t-1)^2=0}\)
\(\displaystyle{ t=1}\)
\(\displaystyle{ log_{sinx}cosx=1}\)
\(\displaystyle{ sinx=cosx}\)
\(\displaystyle{ sinx=sin(\frac{\pi}{2}-x)}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}-x+2k \pi x= \pi - \frac{\pi}{2}+x+2k \pi}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4} + k \pi}\)
Ale z założeń widzimy że \(\displaystyle{ sinx}\) musi być dodatni więc rozwiązanie to:
\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}+2k \pi}\)

[Simong]

Mam jeszcze pytanie czemu tam w \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}-x+2k \pi x= \pi - \frac{\pi}{2}+x+2k \pi}\) oprócz pierwszego rozw. jest jeszcze drugi e(czyli chodzi mi o to co jest po lub) Wiem że to wynika jaks z wykresu funkcji chyba f(x)=sin x tylko nie iem dokładnie o co chodzi

Bardzo dz. za pomoc

[baksio]

Skorzystałem z tego:
\(\displaystyle{ sin\alpha=sin\beta}\)
\(\displaystyle{ \alpha=\beta + 2k \pi = \pi - \beta + 2k \pi}\)
Możesz narysować sobie przykładowy wykres funkcji i zobacz że daną wartość funkcja przyjmuje 2 razy. I na przykład w przedziale \(\displaystyle{ }\)
funkcja przyjmie wartość \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\) dla \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4} x= \pi - \frac{\pi}{4}}\)

[Tristan]

Domyślam się, że w zbiorze zadań te przykłady tak się nazywały, ale myślę, iż logiczniej by było, gdybyś napisał na forum a), b), c), d). Bo zaczynasz od przykładu m), a co z wcześniejszymi?
Ad m:
Skorzystamy tutaj ze wzoru na sinus potrojonego argumentu, czyli \(\displaystyle{ \sin 3x=3 \sin x - 4\sin^3 x= \sin x(3 - 4 \sin^2 x)}\). Wstawiając tę równość do równania otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sin 3x = 2 \sin x \\ \sin x( 3 - 4 \sin^2 x)= 2 \sin x \\ \sin x=0 3 - 4 \sin^2 x=2 \\ \sin x =0 \sin^2 x= \frac{1}{4} \\ sin x=0 \sin x= - \frac{1}{2} \sin x= \frac{1}{2}}\)
Myślę, że dalej dasz sobie radę.