wykazać, oscylator

[okaokajoka]

wykazać, że


\(\displaystyle{ A\cos(W_0t)+B\sin(W_0t) = C\cos(W_0 + \alpha)}\)


nie potrafiłem wklepać omegi ani fi ale to nie robi różnicy

[Chromosom]

Należy wyłączyć większą z liczb: \(\displaystyle{ A,B}\) przed nawias.

[okaokajoka]

nie wiem przecież nic o tych liczbach

[Chromosom]

Można rozważyć dwa przypadki.

[Marmat]

Rozwiązanie jest stosunkowo proste i nie wymaga stosowania żadnych przypadków.
Na pewno istnieje taki kąt alfa, że:
\(\displaystyle{ cos( \alpha )= \frac{A}{ \sqrt{A^2+B^2} }}\)
i \(\displaystyle{ sin( \alpha )= -\frac{B}{ \sqrt{A^2+B^2} }}\)
ponieważ :
\(\displaystyle{ \left| sin( \alpha )\right| \ \le 1 \ i \ \left| cos( \alpha) \right| \le 1 \\
sin^2( \alpha )+cos^2( \alpha )=1}\)
Teraz przekształcasz wyrażenie korzystając ze wzoru:
\(\displaystyle{ cos( \alpha + \beta )=cos( \alpha )cos( \beta )-sin( \alpha )sin( \beta )}\)
Otrzymujesz:
\(\displaystyle{ Acos(W_0t)+Bsin(W_0t)= \sqrt{A^2+B^2)} \left(\frac{A}{ \sqrt{A^2+B^2} }cos(W_0t)+\frac{B}{ \sqrt{A^2+B^2} } sin(W_0t)\right)= \sqrt{A^2+B^2)} \left(cos( \alpha )cos(W_0t)-sin( \alpha)sin(W_0t))=\sqrt{A^2+B^2}cos( \alpha +W_0t)=Ccos( \alpha +W_0t)}\)
gdzie \(\displaystyle{ C=\sqrt{A^2+B^2}}\)
Pozdrawiam.