Funkcje trygonometryczne

[denatlu]

Kąt \(\displaystyle{ x}\) jest taki, że \(\displaystyle{ \cos x+ \sin x= \frac{4}{3}}\) . Oblicz \(\displaystyle{ \left| \cos x - \sin x\right|}\).

Problem polega że nie wiem od czego zacząć, myślałem o jedynce ale nie ma to dalszego sensu- chyba.

[Przemo10]

Podnieś do kwadratu.
Oblicz wartość wyrażenia \(\displaystyle{ 2\sin x\cos x}\)
Zastosuj wzór skróconego mnożenia, aby obliczyć:\(\displaystyle{ \left( \cos x - \sin x\right)^2}\)
Pamiętaj o jedynce trygonometrycznej

[wujomaro]

Możesz spróbować:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin x + \cos x= \frac{4}{3} \\ \sin^{2}x+ \cos^{2}x=1 \end{cases}}\)
Albo podstawić sobie z jedynki trygonometrycznej: \(\displaystyle{ \cos x= \sqrt{1- \sin^{2}x}}\)
Pozdrawiam!

[denatlu]

a jak wyliczyć \(\displaystyle{ 2 \sin x\cos x= \frac{7}{9}}\) czyli \(\displaystyle{ \sin 2x= \frac{7}{9}}\) ?

[Przemo10]

Jak masz to: to wystarczy tylko zauważyć, że:
\(\displaystyle{ 2 \sin x\cos x= \frac{7}{9}
\Rightarrow \cos^2 x -2 \sin x\cos x+\sin^2 x = 1- \frac{7}{9}}\)

[denatlu]

nic dalej mi to nie rozjaśnia. Z tego wyszedłem do tego co napisałem poprzednio.

[mortan517]

Zauważ , że \(\displaystyle{ \cos^2 x -2 \sin x\cos x+\sin^2 x=(\cos x-sin x)^2}\)
oraz, że \(\displaystyle{ \sqrt{(a+b)^2}=\left| a+b\right|}\)

[denatlu]

Ok, nie zauważyłem tego.

Czyli \(\displaystyle{ \left| \cos x - \sin x\right|= \frac{2}{9}}\) i koniec ? czy jeszcze to rozpisywać?

[mortan517]

Tyle by wystarczyło, ale wkradło się małe niedopatrzenie sprawdź jeszcze raz

[denatlu]

\(\displaystyle{ \left| \cos x - \sin x\right|= \frac{ \sqrt{2} }{3}}\) ?

[Przemo10]

Teraz OK