dwie tożsamości

[mat1989]

1. \(\displaystyle{ (tgx+ctgx)^2=\frac{1}{sin^2xcos^2x}}\)
2. \(\displaystyle{ (\frac{1}{sinx}+\frac{1}{cosx})\cdot(sinx+cosx)=2+\frac{1}{sinx+cosx}}\)

[Tristan]

Ad 1:
\(\displaystyle{ (tg x + ctg x)^2 =tg^2 x + 2 tg x ctg x + ctg^2 x = tg^2 x + ctg^2 x +2= \frac{ \sin^2 x }{ \cos^2 x } + \frac{ \cos^2 x }{ \sin^2 x }= \frac{ \sin^4 x + \cos^4 x }{ \sin^2 x \cos^2 x} + 2 \frac{ \sin^2 x \cos^2 x }{ \sin^2 x \cos^2 x } = \frac{ \sin^4 x + \cos^4 x + 2 \sin^2 x \cos^2 x }{ \sin^2 x \cos^2 x }= \frac{ ( \sin^2 x + \cos^2 x)^2}{ \sin^2 x \cos^2x} = \frac{1}{ \sin^2 x \cos^2 x}}\)

Ad 2:
\(\displaystyle{ ( \frac{1}{ \sin x} + \frac{1}{ \cos x} )( \sin x+ \cos x)= 1+ \frac{\cos x}{ \sin x} + \frac{ \sin x }{ \cos x} + 1=2 + \frac{ \cos^2 x + \sin^2 x}{ \sin x \cos x } = 2 + \frac{1}{ \sin x \cos x}}\)

[baksio]

1.\(\displaystyle{ (tgx+ctgx)^2 = (\frac{sin^2x + cos^2x}{sinxcosx})^2 = \frac{1}{sin^2xcos^2x}}\)
\(\displaystyle{ tgx=\frac{sinx}{cosx}}\)
\(\displaystyle{ ctgx=\frac{cosx}{sinx}}\)

Tristan, troche długi ten sposób więc zamieszczam ciut krótszy.

[Tristan]

Ja ten mój zostawiam, by pokazać jak to jest, gdy się nie ma pomysłu

[mat1989]

dzięki wszystkim bo w sumie to nie dla mnie zadanie, więc dziękuję w imieniu kolegi.