tożsamość trygonometryczna

[_kamilkaaa]

Dana jest równość \(\displaystyle{ \frac{sin 2 }{1 + cos 2 } \frac {cos }{1 + cos } = tg \frac{ }{2}}\) Sformułuj niezbędne założenia dla kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) i sprawdź, czy przy tych założeniach dana równość jest toźsamością trygonometryczną.

[Lady Tilly]

\(\displaystyle{ \frac{2sin{\alpha}cos{\alpha}}{2cos^{2}\alpha}{\cdot}\frac{cos\alpha}{1+cos\alpha}=\frac{1-cos\alpha}{sin\alpha}}\)

\(\displaystyle{ \frac{2sin{\alpha}cos\alpha}{2cos\alpha(1+cos\alpha)}=\frac{1-cos\alpha}{sin\alpha}}\)

\(\displaystyle{ 2sin\alphacos\alpha=2cos\alpha(1+cos\alpha)(1-cos\alpha)}\)

\(\displaystyle{ 2(1-cos^{2}\alpha)cos\alpha=2cos\alpha(1-cos^{2}\alpha)}\)

[baksio]

Robisz założenia,
\(\displaystyle{ L=\frac{2sin\alpha*cos\alpha}{sin^2\alpha+cos^2\alpha + cos^2\alpha - sin^2\alpha}*\frac{cos\alpha}{1+cos\alpha} = \frac{sin\alpha}{cos\alpha+1}}\)
Widzimy że potrzeba nam tutaj kątów połówkowych więc zapiszmy za pomocą kątów połówkowych \(\displaystyle{ sin\alpha}\) i \(\displaystyle{ cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ sin(2*\frac{\alpha}{2})=2sin\frac{\alpha}{2}*cos\frac{\alpha}{2}}\)
\(\displaystyle{ cos(2*\frac{\alpha}{2})=cos^2(\frac{\alpha}{2}) - sin^2(\frac{\alpha}{2})}\)
Teraz możemy wstawić:
\(\displaystyle{ \frac{sin\alpha}{cos\alpha+1}=\frac{2sin\frac{\alpha}{2}*cos\frac{\alpha}{2}}{cos^2(\frac{\alpha}{2}) - sin^2(\frac{\alpha}{2}) +1} =\frac{2sin\frac{\alpha}{2}*cos\frac{\alpha}{2}}{cos^2(\frac{\alpha}{2}) - sin^2(\frac{\alpha}{2}) +sin^2(\frac{\alpha}{2})+cos^2(\frac{\alpha}{2})} =}\)
\(\displaystyle{ \frac{2sin\frac{\alpha}{2}*cos\frac{\alpha}{2}}{2cos^2(\frac{\alpha}{2})}= \frac{sin\frac{\alpha}{2}}{cos\frac{\alpha}{2}}=tg\frac{\alpha}{2}}\)