Jak rozwiązać takie "bystre" równanie trygonometryczne?

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
damianjnc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 212
Rejestracja: 1 lis 2011, o 16:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zawierzbie
Podziękował: 13 razy

Jak rozwiązać takie "bystre" równanie trygonometryczne?

Post autor: damianjnc »

Witam,

\(\displaystyle{ \frac{\cos ^{2}x-1}{\sin x} +\sin ^{3}x=0}\)

Rozwiązywałem tak, ale niestety nie wyszło:
\(\displaystyle{ \sin x \neq 0 \\
x \neq k \pi \\ \\
\frac{\cos ^{2}x-1}{\sin x} +\sin ^{3}x=0| \cdot \sin x \\
\cos ^{2} x-1+\sin ^{4} x=0|+1 \\
\cos ^{2}x+\sin ^{4}x=1}\)


Co robię źle?

Z góry dziękuję,
Damian
Ostatnio zmieniony 4 cze 2012, o 23:10 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Przemo10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 123
Rejestracja: 7 maja 2012, o 19:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: LJA
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 22 razy

Jak rozwiązać takie "bystre" równanie trygonometryczne?

Post autor: Przemo10 »

Skorzystaj teraz z jedynki trygonometrycznej:\(\displaystyle{ \cos ^{2} x+\sin ^{2}x=1}\)
Wówczas
\(\displaystyle{ \sin ^{4}x-\sin ^{2}x=0 \Rightarrow \left(\sin ^{2}x-1 \right) \cdot \sin ^{2}x=0 \Rightarrow \left( \left( \sin x = \pm 1\right) \vee \sin x =0\right) \wedge \sin x \neq 0 \Rightarrow
x= \frac{ \pi }{2}+ k \pi ;k \in C}\)
-
Ostatnio zmieniony 4 cze 2012, o 23:11 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
damianjnc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 212
Rejestracja: 1 lis 2011, o 16:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zawierzbie
Podziękował: 13 razy

Jak rozwiązać takie "bystre" równanie trygonometryczne?

Post autor: damianjnc »

Nie za bardzo rozumiem, skąd się to wzięło?
Forte
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 111
Rejestracja: 30 maja 2012, o 18:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Podlaskie
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 9 razy

Jak rozwiązać takie "bystre" równanie trygonometryczne?

Post autor: Forte »

damianjnc pisze:Witam,
\(\displaystyle{ \cos ^{2}x+\sin ^{4}x=1}\)
-- 4 cze 2012, o 21:56 --
Przemo10 pisze:Skorzystaj teraz z jedynki trygonometrycznej:\(\displaystyle{ \cos ^{2} x+\sin ^{2}x=1}\)
czyli
\(\displaystyle{ \cos^2 \alpha =1-\sin^2 \alpha}\)

-- 4 cze 2012, o 21:57 --
Przemo10 pisze: Wówczas
\(\displaystyle{ \sin ^{4}x-\sin ^{2}x=0}\)
chociaż, ja nie mnożyłbym przez \(\displaystyle{ \sin x}\)

-- 4 cze 2012, o 22:01 --
\(\displaystyle{ \frac{\cos ^{2}x-1}{\sin x} +\sin ^{3}x=0 \\
\frac{1-\sin ^{2}x-1}{\sin x} +\sin ^{3}x=0 \\
\frac{-\sin ^{2}x}{\sin x} +\sin ^{3}x=0 \\
-\sin x+\sin ^{3}x=0 \\
-\sin x(1-\sin ^{2}x)=0 \\
-\sin x(1-\sin x)(1+\sin x)=0 \\
\sin x=0 \text { lub } \sin x=1 \text { lub } \sin x=-1 \\
\sin x=0 \text { lub } \cos x=0}\)

ale \(\displaystyle{ \sin x=0}\) bo stoi w mianowniku czyli w rozwiązaniu uwzględniony być nie może
\(\displaystyle{ \sin x=1}\) lub \(\displaystyle{ \sin x=-1}\) stąd \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}+k\pi;k\in\mathbb{Z}}\)
Ostatnio zmieniony 4 cze 2012, o 23:13 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
ODPOWIEDZ