Jak rozwiązać takie proste równanie trygonometryczne?

[damianjnc]

Witam,

Jak rozwiązać takie proste równanie trygonometryczne:
\(\displaystyle{ \ctg ^{3}x=3\ctg x}\)

Próbowałem rozwiązywać tak jak poniżej, lecz nie jest to zgodne z odpowiedziami w podręczniku:
\(\displaystyle{ \ctg ^{3}x=3\ctg x}\)\(\displaystyle{ |:\ctg x}\)
\(\displaystyle{ \ctg ^{2}x=3}\)
\(\displaystyle{ \ctg x= \sqrt{3} \vee \ctg x=- \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ x _{0} = \frac{ \pi }{6} \vee x _{0} =-\frac{ \pi }{6}}\)

\(\displaystyle{ x=x _{0} +k \pi}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{6} +k \pi \vee x=-\frac{ \pi }{6}}\)
\(\displaystyle{ k \in C}\)


Gdzie popełniłem błąd?

Z góry dziękuję,
Damian

[wiskitki]

Wydaje mi się, że nie możesz tak sobie dzielić przez ctg, bo nie wiadomo czy jest dodatni.

[damianjnc]

No w sumie tak, tylko jak nie to to co;)?

[wiskitki]

\(\displaystyle{ \ctg^3 x=3\ctg x \\ \ctg^3 x-3\ctg x=0 \\ \ctg x(\ctg^2 x-3)=0 \\ \ctg x=0 \vee \ctg x=\sqrt3 \vee \ctg x=-\sqrt3}\)

[damianjnc]

A skąd się bierze ta ostatnia linijka?

[violingirl]

Z przyrównania nawiasu do zera

[damianjnc]

Jak się to porównuje?

[violingirl]

to co przed nawiasem do zera i nawis też czyli \(\displaystyle{ \ctg ^{2}x-3=0}\) z czego mamy \(\displaystyle{ \ctg x= \sqrt{3} \vee \ctg x= -\sqrt{3}}\)

[Majeskas]

Wydaje mi się, że nie możesz tak sobie dzielić przez ctg, bo nie wiadomo czy jest dodatni.

Tak zdecydowanie nie wolno dzielić, ale nie dlatego, że nie wiadomo, czy cotangens jest dodatni, bo to w równaniu nie ma znaczenia, tylko dlatego, że nie wiadomo, czy jest niezerowy. Najczęściej postępując w ten sposób tracimy rozwiązanie, co właśnie tutaj miało miejsce.