Znaleźć najmniejszy dodatni pierwiastek równania
\(\displaystyle{ sin^3xcosx-cos^3xsinx=sin18^o*sin54^o}\)
a) \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{8}}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{5\pi}{8}}\)
c) \(\displaystyle{ \frac{7\pi}{8}}\)
d) \(\displaystyle{ \frac{\pi}{8}}\)
Znaleźć najmniejszy dodatni pierwiastek równania
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
Znaleźć najmniejszy dodatni pierwiastek równania
Po lewej stronie równania mamy:
\(\displaystyle{ \sin^3 x \cos x - \cos^3 x \sin x = \sin x \cos x ( \sin^2 x - \cos^2 x) = \frac{1}{2} \sin 2x ( - \cos 2x)= -\frac{1}{2} \sin 2x \cos 2x= -\frac{ 2 \sin 2x \cos 2x}{4 }=- \frac{1}{4} \sin 4x}\)
Chcąc wyliczyć wartość wyrażenia po prawej stronie skorzystamy z wzoru na siuns potrojonego argumentu i cosinus podwojonego argumentu. Przyjmijmy, że \(\displaystyle{ \sin 18^{\circ}= t, t (0;1)}\). Z wzorów mamy \(\displaystyle{ \sin 54^{\circ}=3t - 4t^3}\), a z drugiej strony \(\displaystyle{ \sin 54^{\circ} = \sin ( 90^{\circ} - 36^{\circ} )= \cos 36^{\circ}=1-2 t^2}\). Otrzymujemy więc równanie:
\(\displaystyle{ 3t-4t^3 = 1-2t^2 \\ 4t^3 -2t^2 - 3t+1=0 \\ (t-1)(4t^2 +2t-1)=0}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ t 1}\), więc rozpatrujemy to równanie kwadratowe, którego jedynym pierwiastkiem dodatnim jest \(\displaystyle{ t= \frac{ \sqrt{5} -1}{4}}\). Mamy więc wartość \(\displaystyle{ \sin 18^{\circ} = \frac{ \sqrt{5} -1}{4}}\). Na tej podstawie obliczysz już wartość wyrażenia po prawej stronie i będziesz mogła stwierdzić, która odpowiedź jest poprawna.
\(\displaystyle{ \sin^3 x \cos x - \cos^3 x \sin x = \sin x \cos x ( \sin^2 x - \cos^2 x) = \frac{1}{2} \sin 2x ( - \cos 2x)= -\frac{1}{2} \sin 2x \cos 2x= -\frac{ 2 \sin 2x \cos 2x}{4 }=- \frac{1}{4} \sin 4x}\)
Chcąc wyliczyć wartość wyrażenia po prawej stronie skorzystamy z wzoru na siuns potrojonego argumentu i cosinus podwojonego argumentu. Przyjmijmy, że \(\displaystyle{ \sin 18^{\circ}= t, t (0;1)}\). Z wzorów mamy \(\displaystyle{ \sin 54^{\circ}=3t - 4t^3}\), a z drugiej strony \(\displaystyle{ \sin 54^{\circ} = \sin ( 90^{\circ} - 36^{\circ} )= \cos 36^{\circ}=1-2 t^2}\). Otrzymujemy więc równanie:
\(\displaystyle{ 3t-4t^3 = 1-2t^2 \\ 4t^3 -2t^2 - 3t+1=0 \\ (t-1)(4t^2 +2t-1)=0}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ t 1}\), więc rozpatrujemy to równanie kwadratowe, którego jedynym pierwiastkiem dodatnim jest \(\displaystyle{ t= \frac{ \sqrt{5} -1}{4}}\). Mamy więc wartość \(\displaystyle{ \sin 18^{\circ} = \frac{ \sqrt{5} -1}{4}}\). Na tej podstawie obliczysz już wartość wyrażenia po prawej stronie i będziesz mogła stwierdzić, która odpowiedź jest poprawna.