wartość sumy, różnicy itd. sinusa i cosinusa

[Bajkos]

Witam. Prosiłbym o małą pomoc w rozwiązaniu i mozliwie w wytłumaczeniu 2 zadań, ponieważ ostatnio dosyc dlugo choruje i nie chodze do szkoly staram sie rozwiazywac zadania z maty na bieżąco ale mam problem z niektórymi.

1.
Wiedząc, że sin\(\displaystyle{ \alpha}\) * cos\(\displaystyle{ \alpha}\) =\(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\), oblicz:
a) sin\(\displaystyle{ \alpha}\) + cos\(\displaystyle{ \alpha}\)
b) sin\(\displaystyle{ \alpha}\) - cos\(\displaystyle{ \alpha}\)
c) \(\displaystyle{ sin^{3}\alpha}\) + \(\displaystyle{ cos^{3}\alpha}\)
d) \(\displaystyle{ sin^{4}\alpha}\) + \(\displaystyle{ cos^{4}\alpha}\)

2.
Uzasadnij, że jeśli sin\(\displaystyle{ \alpha}\)=b i \(\displaystyle{ \alpha\in(\pi}\),\(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\)\(\displaystyle{ \pi}\)), to ctg\(\displaystyle{ \alpha}\)=\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{1}{b^{2}}-1}}\)

kompletnie nie wiem jak sie do tego zabrac. Pozdrawiam

[Tristan]

Ad.1
Skorzystamy tutaj z wzorów skróconego mnożenia i jedynki trygonometrycznej. Z treści zadania wiemy, że \(\displaystyle{ 2 \sin \cos =\frac{1}{2}}\), a zarazem z jedynki trygonometrycznej mamy, iż \(\displaystyle{ \sin^2 + \cos^2 = 1}\). Dodając te równania stronami otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sin^2 + 2 \sin \cos + \cos^2 = \frac{3}{2} \\ (\sin + \cos )^2 = \frac{3}{2} \\ \sin + \cos = \sqrt{ \frac{3}{2}} \sin + \cos = - \sqrt{ \frac{3}{2}}}\)
Przemnażając pierwsze równanie przez -1 otrzymujemy, że \(\displaystyle{ -2 \sin \cos =-\frac{1}{2}}\) i postępujemy podobnie, dzięki czemu obliczymy wartość \(\displaystyle{ \sin - \cos }\).
W przykładzie c) skorzystaj z faktu, że \(\displaystyle{ \sin^3 \alhpa + \cos^3 = ( \sin + \cos )( \sin^2 - \sin \cos + \cos^2 )}\), a w przykładze d) masz \(\displaystyle{ \sin^4 + \cos^4 =\sin^4 + 2 \sin^2 \cos^2 + \cos^4 - 2 \sin^2 \cos^2 =( \sin^2 + \cos^2 )^2 -2( \sin \cos )^2}\).

[grandslam]

b) \(\displaystyle{ sin\alpha=\frac{1}{4*cos\alpha}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4*cos\alpha}-cos\alpha=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}-cos^{2}\alpha=0}\)
\(\displaystyle{ cos^{2}\alpha=\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha_{1}=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha_{2}=-\frac{1}{2}}\)

[Tristan]

grandslam - skąd wzięło się drugie równanie w Twoim poście?

Ad.2
Skorzystaj znów z jedynki trygonometrycznej. Skoro \(\displaystyle{ \sin =b}\), to \(\displaystyle{ \sin^2 = b^2}\), a ponieważ \(\displaystyle{ \cos^2 = 1- \sin^2 }\), więc \(\displaystyle{ \cos^2 = 1-b^2}\). Stąd już wyliczysz \(\displaystyle{ \cos }\) i pamiętając o tym, że \(\displaystyle{ ctg = \frac{ \cos }{ \sin }}\) dojdziesz do żądanego wzoru.

[grandslam]

ktore równanie

[Tristan]

Skąd wzięło Ci się to: \(\displaystyle{ \frac{1}{ 4 \cos } - \cos =0}\).

[grandslam]

\(\displaystyle{ sin\alpha*cos\alpha=\frac{1}{4}}\) obustronnie podzielłem przez
\(\displaystyle{ cos\alpha}\)i wychodzi\(\displaystyle{ sin\alpha=\frac{1}{4*cos\alpha}}\)

[Tristan]

W przebłysku geniuszu tego akurat się domyśliłem... Pytam o to kolejne równanie - skąd ono się wzięło?

[grandslam]

ktore równanie tristan konkretnie?

[Tristan]

Napisałem już to konkretne, ale napisze po raz kolejny. Skąd masz to równanie \(\displaystyle{ \frac{1}{ 4 \cos } - \cos = 0}\)?

[grandslam]

nie wiem czy własnie przy liczeniu tych rownan trygonometrycznych nalezy je obliczac wlasnie z formy \(\displaystyle{ sin\alpha-cos\alpha=0}\) wydaje mi sie ze tak

[Tristan]

Właśnie do tego dążę... skąd Ci się to wzięło? My mamy obliczyć wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \sin - \cos }\)i nie wiemy ile ono jest równe. My tutaj nie rozwiązujemy równania. Przeczytaj jeszcze raz polecenie w zadaniu.

[grandslam]

czyli nie mam prawa robic z tego równania tak?

[Tristan]

Nie, nie masz.