Problem z twierdzeniem cosinusow

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
MetaXa19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 1 gru 2011, o 19:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Grudziąc
Podziękował: 3 razy

Problem z twierdzeniem cosinusow

Post autor: MetaXa19 »

Witam.

Byłabym bardzo wdzięczna za pomoc, w uporaniu się z poniższym zadaniem:

Wysokości równoległoboku ABCD mają odpowiednio długości DE = 6 DF=8. Wiedząc, że pole trójkąta EDF wynosi 19,2. Oblicz:
-długości boków
- pole równoległoboku ABCD
- sinus kąta EDF

Z góry bardzo dziękuję!
Awatar użytkownika
wujomaro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2154
Rejestracja: 27 lis 2009, o 19:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 299 razy

Problem z twierdzeniem cosinusow

Post autor: wujomaro »


Najłatwiej jest policzyć sinus kąta.
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}ab \sin \gamma}\)
gdzie \(\displaystyle{ \gamma}\) to szukany kąt.
A teraz rysunek do kolejnej części zadania:

Suma kątów leżących przy jednym boku równoległoboku jest równa \(\displaystyle{ 180^o}\)
Obliczamy: \(\displaystyle{ \gamma + \left( 90^o- \alpha \right)+ \left( 90^o- \alpha \right)+ \alpha =180^o}\)

\(\displaystyle{ \gamma= \alpha}\)
No i potem funkcjami trygonometrycznymi obliczasz boki równoległoboku, a do obliczenia pola figury wystarczy Ci długość podstawy i wysokość opadająca na tę podstawę, bo \(\displaystyle{ P=ah _{a}}\)
Pozdrawiam!
Jacek_Karwatka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 351
Rejestracja: 2 maja 2012, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 94 razy

Problem z twierdzeniem cosinusow

Post autor: Jacek_Karwatka »

Pole trójkąta:

\(\displaystyle{ S=a \cdot b \cdot \sin(ab)/2}\)

\(\displaystyle{ \sin = \frac{2S}{h _{a} h _{b} }= \frac{2 \cdot 19.2}{6 \cdot 8}}\)

mamy też:
\(\displaystyle{ \sin = \frac{h _{ b} }{A} = \frac{h _{a} }{B}}\)

\(\displaystyle{ A= \frac{h _{b} }{\sin}}\)

\(\displaystyle{ B= \frac{h _{a} }{\sin}}\)

Pole całkowite równoległoboku:

\(\displaystyle{ S=A \cdot B \cdot \sin}\)
MetaXa19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 1 gru 2011, o 19:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Grudziąc
Podziękował: 3 razy

Problem z twierdzeniem cosinusow

Post autor: MetaXa19 »

Jeżeli dobrze rozumiem, to powinno wyglądać tak:

\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} ab \sin \gamma}\)
\(\displaystyle{ 19,2= \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin \gamma}\)
\(\displaystyle{ \sin \gamma = 0,8}\)

\(\displaystyle{ \frac{ED}{0,8} =8}\)
ED=10
I mam wyliczony kawałek podstawy.

Teraz chcąc obliczyć odcinek AE, zastosuję wobec trójkąta AED funkcje tryg.:

\(\displaystyle{ \frac{6}{\sin \gamma} = \frac{a}{ \sin90 ^{o} }}\) użyłam tu gammy bo jak dowiodłeś \(\displaystyle{ \gamma = \alpha}\)
a=7,5
Teraz z tw.pitagorasa obliczam AE:

\(\displaystyle{ 6 ^{2} +c ^{2} =7,5 ^{2}}\)
\(\displaystyle{ c= \sqrt{20,25}}\)

Zatem \(\displaystyle{ P=(10+\sqrt{20,25}) \cdot 6}\)
Czy tak?

Bardzo przepraszam, że męczę, ale chciałabym dobrze to rozwiązać.
Ostatnio zmieniony 20 maja 2012, o 19:13 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Awatar użytkownika
wujomaro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2154
Rejestracja: 27 lis 2009, o 19:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 299 razy

Problem z twierdzeniem cosinusow

Post autor: wujomaro »

Nie bardzo rozumiem to, co jest od
\(\displaystyle{ \frac{ED}{0,8} =8}\)
Korzystasz z mojego rysunku? W nim |ED| masz przecież podane.
Najlepiej jest to zrobić tak, skoro ustaliliśmy, że \(\displaystyle{ \alpha = \gamma}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{|ED|}{|AD|}}\)
\(\displaystyle{ 0.8= \frac{6}{AD}}\)
\(\displaystyle{ |AD|=7,5}\) To jest jeden bok. Teraz obliczasz pole: \(\displaystyle{ P=7,5 \cdot 8}\)
Znając pole podstawiasz do wzoru z wykorzystaniem drugiej wysokości i obliczasz drugi bok.
Pozdrawiam!
ODPOWIEDZ