rownanie z sinusem

[profesorq]

Wykaz ze dla dowolnej liczby naturalnej n (n>=1) spelnione jest rownanie
\(\displaystyle{ sin\frac{2\pi}{n}+sin\frac{4\pi}{n}+sin\frac{6\pi}{n}+...+sin\frac{2n\pi}{n}=0}\)

[Lorek]

Skorzystaj z faktu, że dla \(\displaystyle{ k,n\in\mathbb{N}, k\leq n}\)
\(\displaystyle{ \sin \frac{2k\pi}{n}+\sin\frac{2(n-k)\pi}{n}=0}\)

[max]

\(\displaystyle{ \sin \frac{2\pi}{n} + \ldots + \sin \frac{2n\pi}{n} = \sin 0 + \sin \frac{2\pi}{n} + \ldots + \sin\frac{2n\pi}{n} = \\
= \frac{1}{2}\left(\sin 0 + \sin \frac{2\pi}{n} + \ldots + \sin\frac{2n\pi}{n} + \sin 0 + \sin \frac{2\pi}{n} + \ldots + \sin\frac{2n\pi}{n}\right) = \\
= \frac{1}{2}\left(\sin 0 + \sin\frac{2n\pi}{n} + \sin \frac{2\pi}{n} + \sin \frac{2(n - 1)\pi}{n} + \ldots + \sin\frac{2n\pi}{n} + \sin 0\right) = \\
= \frac{1}{2}\left(2\sin \pi \cos \pi + 2\sin \pi \cos \frac{2(n - 2)\pi}{2n} + \ldots + 2\sin \pi \cos \pi\right) = \\
= \tfrac{1}{2}\left(0 + 0 + \ldots + 0\right) = 0}\)

Skorzystałem z wzoru na sumę sinusów i z faktu, iż:
\(\displaystyle{ \sin k\pi = 0, \ k \mathbb{Z}}\)

[ Dodano: 24 Luty 2007, 15:58 ]
Lorek, ułamki sekund