\(\displaystyle{ \cos \left( \frac{1}{\sin x} \right) = \sqrt{1 - x^2}}\)
rozpisałby ktoś przekształcenie?
równanie trygonometryczne
-
- Użytkownik
- Posty: 266
- Rejestracja: 24 gru 2011, o 13:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: polska
- Podziękował: 10 razy
równanie trygonometryczne
Ostatnio zmieniony 20 maja 2012, o 19:07 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 122
- Rejestracja: 9 maja 2012, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bielsko
- Pomógł: 11 razy
równanie trygonometryczne
[ciach]
poszukaj wzoru i skorzystaj
JB
poszukaj wzoru i skorzystaj
JB
Ostatnio zmieniony 20 maja 2012, o 21:42 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Złamanie punktu III.6.7 Regulaminu.
Powód: Złamanie punktu III.6.7 Regulaminu.
- JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
równanie trygonometryczne
To równanie nie ma trywialnych rozwiązań. Skorzystamy z tożsamości:
\(\displaystyle{ \cos(\arcsin x)= \sqrt{1 - x^2}}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ \cos\left( \frac{1}{\sin x}\right) =\cos(\arcsin x)}\)
Do rozwiązania pozostaje:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin x}+2k\pi = \arcsin x}\)
dla \(\displaystyle{ k\in\mathbb{Z}}\). Jeżeli niczego nie przeoczyłem, to nie istnieją takie liczby wymierne \(\displaystyle{ q,p,r}\), że \(\displaystyle{ q^r \pi^p}\) jest rozwiązaniem powyższego równania. Tym niemniej jest ich nieskończenie wiele.
\(\displaystyle{ \cos(\arcsin x)= \sqrt{1 - x^2}}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ \cos\left( \frac{1}{\sin x}\right) =\cos(\arcsin x)}\)
Do rozwiązania pozostaje:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin x}+2k\pi = \arcsin x}\)
dla \(\displaystyle{ k\in\mathbb{Z}}\). Jeżeli niczego nie przeoczyłem, to nie istnieją takie liczby wymierne \(\displaystyle{ q,p,r}\), że \(\displaystyle{ q^r \pi^p}\) jest rozwiązaniem powyższego równania. Tym niemniej jest ich nieskończenie wiele.
-
- Użytkownik
- Posty: 266
- Rejestracja: 24 gru 2011, o 13:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: polska
- Podziękował: 10 razy
równanie trygonometryczne
źle napisałem, nie chodziło mi o znalezienie iksa tylko o tę tożsamość wlaśnie, jak z lewej doszliśmy na prawą stronę
- JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
równanie trygonometryczne
To, co napisałeś, nie jest tożsamością. Tam było zapewne \(\displaystyle{ \sin^{-1} x}\), co wpisałeś jako \(\displaystyle{ \frac{1}{\sin x}}\) zamiast \(\displaystyle{ \arcsin x}\), jak mniemam. Jeżeli tak, to:
\(\displaystyle{ \arcsin x = a\\
\sin a = x\\
\cos a =\sqrt{1-\sin^2 a}}\).
\(\displaystyle{ \arcsin x = a\\
\sin a = x\\
\cos a =\sqrt{1-\sin^2 a}}\).