Wykazać że

[Fundak]

\(\displaystyle{ sin^{6}x*cos^{6}x=\frac{1}{63}}\) takie coś nie istanieje.

[Tristan]

Odejmijmy stronami \(\displaystyle{ \frac{1}{64}}\). Po prawej stronie mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{63} - \frac{1}{64}= \frac{1}{63 \cdot 64} >0}\). Zaś po prawej stronie otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sin^6 x \cos^6 x - \frac{1}{64}= ( \sin^2 x \cos^2 x )^3 - ( \frac{1}{4} )^3= ( \sin^2 x \cos^2 x - \frac{1}{4} )( \sin^4 x \cos^4 x + \frac{1}{4} \sin^2 x \cos^2 x + \frac{1}{16})}\)
Oczywiście wyrażenie w drugim nawiasnie jest dodatnie. Za to:
\(\displaystyle{ \sin^2 x \cos^2 x - \frac{1}{4} = \frac{ 4 \sin^2 x \cos^2 x -1}{4} = \frac{ (2 \sin x \cos x)^2 - 1}{4} = \frac{ \sin^2 2x -1}{4} q 0}\)
Ostatecznie po lewej stronie mamy wyrażenie niedodatnie, a po prawej dodatnie - sprzeczność.

[Lorek]

A można i prościej: pomnóż obustronnie przez 64 i masz
\(\displaystyle{ 64\sin^6 x\cos^6 x=\frac{64}{63}\\(2\sin x\cos x)^6=\frac{64}{63}\\|\sin 2x|=\sqrt[6]{\frac{64}{63}}}\)
to co po lewej stronie jest \(\displaystyle{ \leq 1}\) a to co po prawej >1